Strichartz
Bonsoir;
Dans le cadre des estimations de Strichartz, on définit la notion de paire admissible $(q,r)$ d'exposants vérifiant $\frac{2}{q}+\frac{n-1}{r}=\frac{n-1}{2}$.
Mais j'ai beau chercher dans mon cours (oui, je vais pas réfléchir par moi même non plus), je ne vois pas d'explication à cette définition.
Quelqu'un sait il d'où ça vient?
Dans le cadre des estimations de Strichartz, on définit la notion de paire admissible $(q,r)$ d'exposants vérifiant $\frac{2}{q}+\frac{n-1}{r}=\frac{n-1}{2}$.
Mais j'ai beau chercher dans mon cours (oui, je vais pas réfléchir par moi même non plus), je ne vois pas d'explication à cette définition.
Quelqu'un sait il d'où ça vient?
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Réponses
domaine analyse, niveau M2.
Merci.
Le q, r, n a un rapport avec les estimations, par Keel-Tao notament, tu fais des estimations en norme Lp Lq mais ces estimations ne sont valable que sous contrainte de respecté le sigma-admissibilité. Dans ton cas sigma c'est n+1. Et avec la condition p différent de 2 et q different de l'infini et sigma different de 1.
On est ici dans le cas d'une estimation homogéne. Par exemple tu peux tester sur l'équation de Schrodinger.
Bonne chance mon cours sur Stricharzt c'est celui qui m'a pris le plus de temps.
Parce que bon, au bout de 5 pages de calculs, en utilisant 8 fois Hölder, 4 fois Riesz Thorin et 2 fois Hardy Littlewood Sobolev, on voit que ça marche, mais ça me laisse assez perplexe.
Strichartz c'est trés proche de la recherche, je pense qu'il faut travailler dessus et le mettre en application par soi-même pour comprendre proprement. Moi à mon niveau de compréhension je m'en sers juste, j'applique le résultat pour avoir mon existence et unicité à mes problémes, rien de plus. C'est frustrant je sais...
Les estimations de Strichartz sont de la forme :
$$\|u\|_{L^q(L^r)}}\leq C\|u_0\|_{L^2}$$
où $C$ doit être indépendant de $u$ et $u_0$. En écrivant cette inégalité pour $u(\lambda^2 t,\lambda x)$, il va sortir une puissance de $\lambda$ des normes $L^q(L^r)$ et de la norme de $u_0(\lambda x)$, qui devra être nulle, sans quoi on a contradiction en faisant tendre $\lambda$ vers 0 ou $+\infty$, et je crois qu'on trouve l'équation des exposants admissibles.
Je te donnerai plus de détails quand j'aurai mon cours sous les yeux... c'est de tête et certainement un peu faux.
En gros, sa réponse a été: "ouiiii euh, exposant dual qui fait marcher le lemme TT*, blablabla, et puis principe d'incertitude aussi, blablabla, vous prenez une fonction tube et puis par incertitude ça va diverger et on voit bien que les coeff sont optimaux".
Bref, ça m'a pas paru immédiat.
On regarde $i\partial_t u +\Delta_x u=0$ dans $\R\times\R^n$, avec $u(0,.)=u_0\in L^2(\R^n)$. Strichartz dit que si on choisit $q>2$ et $\displaystyle{\frac{2}{q}=\frac{n}{2}-\frac{n}{r}}$ (d'ailleurs je ne sais pas pourquoi j'ai $n$ et toi $n-1$ enfin..), on a
$$\|e^{it\Delta}u_0\|_{L^q(\R,L^r(\R^n)}\leq C\|u_0\|_{L^2(\R^n)}$$
avec $C$ indépendant de $u_0$. On fixe un $u_0$ dans $L^2$ non nul, et je vais écrire $u(t,x)=(e^{it\Delta}u_0)(x)$.
Puisque $u_{\lambda}(t,x)=u(\lambda^2 t,\lambda x)$ est solution pour tout $\lambda>0$, et que $u_{\lambda}(0,x)=u(0,\lambda x)$, on a :
$$\|u_{\lambda}(0,.)\|_{L^2(\R^n)}=\lambda^{-n/2}\|u_0\|_2$$
de l'autre côté de l'inégalité :
\begin{eqnarray*}
\|u_{\lambda}\|_{L^q(L^r)} & = & \left(\int_{\R}\left(\int_{\R^n}|u(\lambda^2t,\lambda x)|^rdx\right)^{q/r}dt\right)^{1/q}\\
& = & \lambda^{-2/q}\lambda^{-n/r}\|u\|_{L^q(L^r)}
\end{eqnarray*}
Par Strichartz, le quotient de ces deux quantités, à savoir :
$$\lambda^{-n/2+2/q+n/r}\frac{\|u_0\|_2}{\|u\|_{L^q(L^r)}}$$
est uniformément borné en $\lambda$ par $C$. Puisque $u_0$ est non nulle, ça implique que :
$$\lambda^{-n/2+2/q+n/r}$$
est uniformément borné, et donc que la puissance est nulle.
Ca me plaît assez cette "preuve"...
J'espérais qu'il y ait un argument simple d'homogénéité, me voila rassuré.