Strichartz

Il me semble qu'un argument d'homogénéité permet de deviner à l'avance quels sont les bons exposants. Je ne sais pas exactement de quelle équation de Schrödinger tu parles, mais j'ai étudié une équation du genre $-i\partial_t u+\Delta u=0$ (aux signes près), et on voit que si $u(t,x)$ est solution alors $u(\lambda^2t,\lambda x)$ est solution pour tout $\lambda>0$.

Les estimations de Strichartz sont de la forme :
$$\|u\|_{L^q(L^r)}}\leq C\|u_0\|_{L^2}$$
où $C$ doit être indépendant de $u$ et $u_0$. En écrivant cette inégalité pour $u(\lambda^2 t,\lambda x)$, il va sortir une puissance de $\lambda$ des normes $L^q(L^r)$ et de la norme de $u_0(\lambda x)$, qui devra être nulle, sans quoi on a contradiction en faisant tendre $\lambda$ vers 0 ou $+\infty$, et je crois qu'on trouve l'équation des exposants admissibles.

Je te donnerai plus de détails quand j'aurai mon cours sous les yeux... c'est de tête et certainement un peu faux.

Bon j'ai mon cours, je vais tâcher d'être plus convaincant...

On regarde $i\partial_t u +\Delta_x u=0$ dans $\R\times\R^n$, avec $u(0,.)=u_0\in L^2(\R^n)$. Strichartz dit que si on choisit $q>2$ et $\displaystyle{\frac{2}{q}=\frac{n}{2}-\frac{n}{r}}$ (d'ailleurs je ne sais pas pourquoi j'ai $n$ et toi $n-1$ enfin..), on a
$$\|e^{it\Delta}u_0\|_{L^q(\R,L^r(\R^n)}\leq C\|u_0\|_{L^2(\R^n)}$$
avec $C$ indépendant de $u_0$. On fixe un $u_0$ dans $L^2$ non nul, et je vais écrire $u(t,x)=(e^{it\Delta}u_0)(x)$.

Puisque $u_{\lambda}(t,x)=u(\lambda^2 t,\lambda x)$ est solution pour tout $\lambda>0$, et que $u_{\lambda}(0,x)=u(0,\lambda x)$, on a :
$$\|u_{\lambda}(0,.)\|_{L^2(\R^n)}=\lambda^{-n/2}\|u_0\|_2$$
de l'autre côté de l'inégalité :
\begin{eqnarray*}
\|u_{\lambda}\|_{L^q(L^r)} & = & \left(\int_{\R}\left(\int_{\R^n}|u(\lambda^2t,\lambda x)|^rdx\right)^{q/r}dt\right)^{1/q}\\
& = & \lambda^{-2/q}\lambda^{-n/r}\|u\|_{L^q(L^r)}
\end{eqnarray*}

Par Strichartz, le quotient de ces deux quantités, à savoir :
$$\lambda^{-n/2+2/q+n/r}\frac{\|u_0\|_2}{\|u\|_{L^q(L^r)}}$$
est uniformément borné en $\lambda$ par $C$. Puisque $u_0$ est non nulle, ça implique que :
$$\lambda^{-n/2+2/q+n/r}$$
est uniformément borné, et donc que la puissance est nulle.


Ca me plaît assez cette "preuve"...