fonctions harmoniques
bonsoir
je me pose plusieurs questions, liéés indirectement à mon tipe qui porte sur la résolution probabiliste de l'équation de Poisson $\Delta V=0$ avec conditions de bord sur un ouvert connexe. (c'est pour situer le contexte mais ça n'intervient plus après)
D'un point de vue physique, je me suis dit que cela devrait correspondre à une minimisation d'énergie.
J'introduis donc $\displaystyle{E(V) = \int_D \sqrt{1+||\nabla V||^2}}$.
A partir de là plusieurs questions...et j'ai surtout besoin d'aide sur 2 et 3.
\begin{itemize}
\item{1.} Est ce que cette valeur est la valeur de la surface dans $\R^3$ $\lbrace (x,y,y) | z=V(x,y), (x,y)\in D\rbrace$? (en supposant qu'on est en dimension deux)
(j'ai une vague preuve intuitive mais bon je ne suis pas satisfait)
\item{2.} Est ce que la solution de $\Delta V = 0$ minimise $E(V)$ pour l'ensemble des potentiels admissibles (i-e continus et $V = f$ sur $\partial D$ avec $f$ continue fixée depuis le début)?
là aussi j'ai un vague preuve mais rien de solide. En gros je dis que c'est le cas pour une bulle de savon tendue sur un fil.
\item{3.} Est ce que je peux alors considérer que cette distribution de potentiel est le seul équilibre stable du système (en considérant que $E$ est une énergie) puisqu'il correspond à un minimum absolu d'énergie?
(plus pour les physiciens...), ce qui explique un peu qu'on tombe sur des fonctions harmoniques chaque fois qu'on traite de potentiel..
\end{itemize}
Merci de vos réponses et n'hésitez pas à me demander des précisions sur mon idée si vous trouvez que c'est pas clair
je me pose plusieurs questions, liéés indirectement à mon tipe qui porte sur la résolution probabiliste de l'équation de Poisson $\Delta V=0$ avec conditions de bord sur un ouvert connexe. (c'est pour situer le contexte mais ça n'intervient plus après)
D'un point de vue physique, je me suis dit que cela devrait correspondre à une minimisation d'énergie.
J'introduis donc $\displaystyle{E(V) = \int_D \sqrt{1+||\nabla V||^2}}$.
A partir de là plusieurs questions...et j'ai surtout besoin d'aide sur 2 et 3.
\begin{itemize}
\item{1.} Est ce que cette valeur est la valeur de la surface dans $\R^3$ $\lbrace (x,y,y) | z=V(x,y), (x,y)\in D\rbrace$? (en supposant qu'on est en dimension deux)
(j'ai une vague preuve intuitive mais bon je ne suis pas satisfait)
\item{2.} Est ce que la solution de $\Delta V = 0$ minimise $E(V)$ pour l'ensemble des potentiels admissibles (i-e continus et $V = f$ sur $\partial D$ avec $f$ continue fixée depuis le début)?
là aussi j'ai un vague preuve mais rien de solide. En gros je dis que c'est le cas pour une bulle de savon tendue sur un fil.
\item{3.} Est ce que je peux alors considérer que cette distribution de potentiel est le seul équilibre stable du système (en considérant que $E$ est une énergie) puisqu'il correspond à un minimum absolu d'énergie?
(plus pour les physiciens...), ce qui explique un peu qu'on tombe sur des fonctions harmoniques chaque fois qu'on traite de potentiel..
\end{itemize}
Merci de vos réponses et n'hésitez pas à me demander des précisions sur mon idée si vous trouvez que c'est pas clair
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Réponses
[Corrigé dans le titre. AD]
Le cours étant mathématique, j'aurai du mal à donner une explication physique:
Je parle pour la question $2$.
la surface est dite minimale lorsque $div(\frac{\nabla u}{\sqrt{1+|\nabla u|^2}})=0$ au sens des distributions (tu as des notions sur les distributions?). (je ne vois pas trop sous quelles hypothèses c'est équivalent au laplacien nul)
Pour justifier cette condition, tu peux considérer $f:[0,1]\longrightarrow \R$, la longueur de son graphe est $\int \sqrt{1+f'^2}$, si cette longueur est minimale, la dérivée de la fonctionnelle est nulle, et un calcul formel te convaincra rapidement que cette dérivée est l'application $h\mapsto D_f(h)=\int \frac{f'h'}{\sqrt{1+|f'|^2}}$.
Une question difficile est de savoir sur quel espace de fonctions on cherche le minimum. A titre indicatif, dans mon cours on se place sur l'ensemble des fonctions lipschitziennes.
déjà je n'ai pas de notion sur les distributions (on va dire que tout le monde est bien régulier...)
en fait j'ai calculé cette différentielle et même la différentielle seconde, dont on montre qu'elle définit une forme quadratique définie positive ce qui montre qu'il ne peut y avoir que des minima
mais bon, vu mon ensemble de définition n'est pas ouvert, la différentielle ne donne pas grand chose vu que le min de $E(v)$ est atteint sur le bord de l'espace de définition
ainsi je prend comme espace de fonctions :
$V\in C^2(\bar{D},\R) | V_{|\partial D} = f$ où $f$ est une fonction continue fixée, muni d'une norme idoine...
En fait mon raisonnement vient des bulles de savon qui réalisent (je pense) une surface minimale pour des histoires de tensions superficielles et aussi sont harmoniques.
Il me semble qu'il y a un problème dans ce que tu dis, $E$ est une application définie sur un ensemble de fonctions, donc ça n'a pas de sens de dire qu'elle admet un minimum sur le bord de l'espace.
Au risque de te décevoir, je ne pense pas pouvoir beaucoup t'aider, mon cours se résumant à "on rappelle que la surface c'est $\int \sqrt{1+|\nabla u|^2}$, la surface est minimale lorsque $ div(\frac{\nabla u}{\sqrt{1+\vert\nabla u\vert^2}})=0$", puis des pages et des pages de calculs très techniques pour justifier que le min est atteint...
bon sinon tant pis corentin mais si qqn se sent de démontrer cette propriété je le féliciterais comme il le mérite
mais ça fait pareil que dans le cas réel que tu as écrit là haut sauf qu'il y a des gradients deci delà
à moins que je me plante mais on verra demain
\begin{eqnarray*}
E(V+h) &=& \int_D\sqrt{1+||\nabla(V+h)||^2}\\
& = &\int_D\sqrt{1+||\nabla(V)||^2+2(\nabla V|\nabla h) + ||h||^2}\\
&=& \int_D\sqrt{1+||\nabla V||^2}\sqrt{1+\dfrac{2(\nabla V|\nabla h) + ||\nabla h||^2}{1+||\nabla V||^2}}\\
&=& E(V) + \int_D \dfrac{(\nabla V|\nabla h)}{\sqrt{1+||\nabla V||^2}} + o(||h||)
\end{eqnarray*}
ce qui donne $dE_V(h) = \int_D \dfrac{(\nabla V|\nabla h)}{\sqrt{1+||\nabla V||^2}}$
pour la différentielle seconde c'est un peu plus pénible mais ça passe aussi
cela dit, je ne comprend pas pourquoi tu voulais que j'écrive tout ça...
Quand tu parles de point intérieur, tu veux dire un point intérieur à $D$? Pourtant ta fonctionnelle n'est pas définie sur $D$ mais sur les fonctions définies sur $D$.
Pourquoi cette différentielle ne pourrait elle pas être nulle?
Prenons le cas réel comme exemple
On considère $U = \lbrace f\in C^1(\lbrack 0; 1\rbrack, \R) | f(0) = 0; f(1) = 1\rbrace$
Et la fonctionnelle $E(f) = \int_0^1 \sqrt{1+(f'(x))^2}$ définie sur $U$.
Sa différentielle vaut $dE_f(h) = \int_0^1\frac{h'f'}{\sqrt{1+(f')^2}}$
En un éventuel minimum atteint en point intérieur à $U$, $dE =0$ et on en déduit facilement que $f'$ est constante (en interprétant cette différentielle comme le produit scalaire de deux fonctions continues)
Seulement aucune fonction constante n'appartient à $U$ étant données les conditions de bord.
Pourtant sur $U$ il est clair que le minimum est atteint en un seul point : la fonction $x-> x$ qui est également la seule solution de $f'' = 0, f(0)=0, f(1) = 1$.
dans le cas de dimension supérieure je voudrais démontrer la même chose.
Je pense que $h$ ne parcourt pas les fonctions $C^1$. En effet, si $f$ est le minimum, il me semble naturel de respecter la contrainte $(f+h)(0)=0, (f+h)(1)=1$, donc $h(0)=h(1)$.
Donc si l'on prend $f(x)=x$, et $h$ comme précédemment, on a $dE_f(h)=\int_0^1\frac{h'.1}{\sqrt{1+1^2}}=\frac{h(1)-h(0)}{2}=0$. La différentielle s'annule bien.
du coup ça devient compliqué! mais je vais pouvoir chercher un peu plus
merci!