fonctions harmoniques

le poulpe · May 2006

bonsoir

je me pose plusieurs questions, liéés indirectement à mon tipe qui porte sur la résolution probabiliste de l'équation de Poisson $\Delta V=0$ avec conditions de bord sur un ouvert connexe. (c'est pour situer le contexte mais ça n'intervient plus après)

D'un point de vue physique, je me suis dit que cela devrait correspondre à une minimisation d'énergie.

J'introduis donc $\displaystyle{E(V) = \int_D \sqrt{1+||\nabla V||^2}}$.

A partir de là plusieurs questions...et j'ai surtout besoin d'aide sur 2 et 3.

\begin{itemize}
\item{1.} Est ce que cette valeur est la valeur de la surface dans $\R^3$ $\lbrace (x,y,y) | z=V(x,y), (x,y)\in D\rbrace$? (en supposant qu'on est en dimension deux)
(j'ai une vague preuve intuitive mais bon je ne suis pas satisfait)

\item{2.} Est ce que la solution de $\Delta V = 0$ minimise $E(V)$ pour l'ensemble des potentiels admissibles (i-e continus et $V = f$ sur $\partial D$ avec $f$ continue fixée depuis le début)?
là aussi j'ai un vague preuve mais rien de solide. En gros je dis que c'est le cas pour une bulle de savon tendue sur un fil.

\item{3.} Est ce que je peux alors considérer que cette distribution de potentiel est le seul équilibre stable du système (en considérant que $E$ est une énergie) puisqu'il correspond à un minimum absolu d'énergie?
(plus pour les physiciens...), ce qui explique un peu qu'on tombe sur des fonctions harmoniques chaque fois qu'on traite de potentiel..

\end{itemize}

Merci de vos réponses et n'hésitez pas à me demander des précisions sur mon idée si vous trouvez que c'est pas clair

le poulpe · May 2006

euh, pour le niveau, je pense qu'on peut dire L3...

[Corrigé dans le titre. AD]

corentin · May 2006

C'est un euphémisme. (la minimisation d'une surface, c'est l'objet en partie du dernier chapitre d'un de mes cours de spécialisation en M2

)
Le cours étant mathématique, j'aurai du mal à donner une explication physique:
Je parle pour la question $2$.
la surface est dite minimale lorsque $div(\frac{\nabla u}{\sqrt{1+|\nabla u|^2}})=0$ au sens des distributions (tu as des notions sur les distributions?). (je ne vois pas trop sous quelles hypothèses c'est équivalent au laplacien nul)
Pour justifier cette condition, tu peux considérer $f:[0,1]\longrightarrow \R$, la longueur de son graphe est $\int \sqrt{1+f'^2}$, si cette longueur est minimale, la dérivée de la fonctionnelle est nulle, et un calcul formel te convaincra rapidement que cette dérivée est l'application $h\mapsto D_f(h)=\int \frac{f'h'}{\sqrt{1+|f'|^2}}$.
Une question difficile est de savoir sur quel espace de fonctions on cherche le minimum. A titre indicatif, dans mon cours on se place sur l'ensemble des fonctions lipschitziennes.

le poulpe · May 2006

nickel corentin tu m'al l'air le gars parfait pour me répondre

déjà je n'ai pas de notion sur les distributions (on va dire que tout le monde est bien régulier...)

en fait j'ai calculé cette différentielle et même la différentielle seconde, dont on montre qu'elle définit une forme quadratique définie positive ce qui montre qu'il ne peut y avoir que des minima

mais bon, vu mon ensemble de définition n'est pas ouvert, la différentielle ne donne pas grand chose vu que le min de $E(v)$ est atteint sur le bord de l'espace de définition

ainsi je prend comme espace de fonctions :

$V\in C^2(\bar{D},\R) | V_{|\partial D} = f$ où $f$ est une fonction continue fixée, muni d'une norme idoine...

En fait mon raisonnement vient des bulles de savon qui réalisent (je pense) une surface minimale pour des histoires de tensions superficielles et aussi sont harmoniques.

le poulpe · May 2006

au fait : dans le cas réel ça marche puisque la longueur minimale est obtenue pour un segment qui est harmonique...

corentin · May 2006

"la différentielle ne donne pas grand chose vu que le min de $ E(v)$ est atteint sur le bord de l'espace de définition "
Il me semble qu'il y a un problème dans ce que tu dis, $E$ est une application définie sur un ensemble de fonctions, donc ça n'a pas de sens de dire qu'elle admet un minimum sur le bord de l'espace.

Au risque de te décevoir, je ne pense pas pouvoir beaucoup t'aider, mon cours se résumant à "on rappelle que la surface c'est $\int \sqrt{1+|\nabla u|^2}$, la surface est minimale lorsque $ div(\frac{\nabla u}{\sqrt{1+\vert\nabla u\vert^2}})=0$", puis des pages et des pages de calculs très techniques pour justifier que le min est atteint...

le poulpe · May 2006

ben si ça a un sens il n'est pas atteint en un point intérieur puisque sinon la différentielle s'y annulerait ce qui ne risque pas d'être le cas (enfin faut le vérifier)

bon sinon tant pis corentin mais si qqn se sent de démontrer cette propriété je le féliciterais comme il le mérite

le poulpe · May 2006

genre dans le cas réel pour que la différentielle soit nulle il faudrait que la fonction soit constante mais ces fonctions ne vérifient pas la condition de bord.<BR>

corentin · May 2006

Est ce que tu pourrais m'écrire ce que vaut cette différentielle stp?<BR>

le poulpe · May 2006

ok je fais ça demain parce que là je suis crevé

mais ça fait pareil que dans le cas réel que tu as écrit là haut sauf qu'il y a des gradients deci delà

à moins que je me plante mais on verra demain

le poulpe · May 2006

Bon :

\begin{eqnarray*}
E(V+h) &=& \int_D\sqrt{1+||\nabla(V+h)||^2}\\
& = &\int_D\sqrt{1+||\nabla(V)||^2+2(\nabla V|\nabla h) + ||h||^2}\\
&=& \int_D\sqrt{1+||\nabla V||^2}\sqrt{1+\dfrac{2(\nabla V|\nabla h) + ||\nabla h||^2}{1+||\nabla V||^2}}\\
&=& E(V) + \int_D \dfrac{(\nabla V|\nabla h)}{\sqrt{1+||\nabla V||^2}} + o(||h||)
\end{eqnarray*}
ce qui donne $dE_V(h) = \int_D \dfrac{(\nabla V|\nabla h)}{\sqrt{1+||\nabla V||^2}}$

pour la différentielle seconde c'est un peu plus pénible mais ça passe aussi

cela dit, je ne comprend pas pourquoi tu voulais que j'écrive tout ça...

corentin · May 2006

En fait je voulais être sur qu'on a la même chose parce que je ne comprends pas que tu dises "il n'est pas atteint en un point intérieur puisque sinon la différentielle s'y annulerait ce qui ne risque pas d'être le cas".
Quand tu parles de point intérieur, tu veux dire un point intérieur à $D$? Pourtant ta fonctionnelle n'est pas définie sur $D$ mais sur les fonctions définies sur $D$.
Pourquoi cette différentielle ne pourrait elle pas être nulle?

le poulpe · May 2006

oui oui je veux dire en un point intérieur à l'ensemble de fonctions que l'on considère.

Prenons le cas réel comme exemple

On considère $U = \lbrace f\in C^1(\lbrack 0; 1\rbrack, \R) | f(0) = 0; f(1) = 1\rbrace$

Et la fonctionnelle $E(f) = \int_0^1 \sqrt{1+(f'(x))^2}$ définie sur $U$.
Sa différentielle vaut $dE_f(h) = \int_0^1\frac{h'f'}{\sqrt{1+(f')^2}}$

En un éventuel minimum atteint en point intérieur à $U$, $dE =0$ et on en déduit facilement que $f'$ est constante (en interprétant cette différentielle comme le produit scalaire de deux fonctions continues)
Seulement aucune fonction constante n'appartient à $U$ étant données les conditions de bord.

Pourtant sur $U$ il est clair que le minimum est atteint en un seul point : la fonction $x-> x$ qui est également la seule solution de $f'' = 0, f(0)=0, f(1) = 1$.

dans le cas de dimension supérieure je voudrais démontrer la même chose.

corentin · May 2006

J'ai un autre raisonnement.
Je pense que $h$ ne parcourt pas les fonctions $C^1$. En effet, si $f$ est le minimum, il me semble naturel de respecter la contrainte $(f+h)(0)=0, (f+h)(1)=1$, donc $h(0)=h(1)$.
Donc si l'on prend $f(x)=x$, et $h$ comme précédemment, on a $dE_f(h)=\int_0^1\frac{h'.1}{\sqrt{1+1^2}}=\frac{h(1)-h(0)}{2}=0$. La différentielle s'annule bien.

le poulpe · May 2006

En effet bien vu!

du coup ça devient compliqué! mais je vais pouvoir chercher un peu plus

merci!

fonctions harmoniques

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 19