fonction
Réponses
-
svp
-
Bonjour
Soit $(p_k)_{k \in \mathbb{N}^*}$ la suite des entiers premiers ordonnés par valeurs croissantes.
Pour $x$ et $y$ réels positifs avec $x>y$, on note
$E=\{i \in \mathbb{N}^*,\ y -
aidez moi svp
-
Si je comprends bien tes (fausses) notations, on a $$K(x) = \prod_{p \leqslant x} p.$$ D'autre part, $N(x)$ se note en fait $\pi(x)$ et $S(x)$ se note $\theta(x)$ ($\theta$ est la première fonction de Tchebychev). Avec ces notations, on a par {\bf sommation partielle} : $$\sum_{p \leqslant x} \ln(p) f(p) = f(x) \sum_{p \leqslant x} \ln(p) - \int_{2}^{x} f'(t) \left ( \sum_{p \leqslant t} \ln p \right ) \, dt,$$ ce qui donne classiquement : $$\sum_{p \leqslant x} \ln(p) f(p) = \theta(x) f(x) - - \int_{2}^{x} f'(t) \theta(t) \, dt.$$ On utilise ensuite généralement le TNP sous la forme faible : $\theta(x) \sim x$ (lorsque $x \rightarrow \infty$) pour déterminer un équivalent de la somme de droite. On peut être plus précis en utilisant la borne de Schoenfeld $\theta(x) < 1,000081 \, x$, valable pour tout $x > 1$.
Pour plus de renseignement, consulter mon livre ("Thèmes d'arithmétiques", Ellipses).
Borde. -
...Si tu n'as pas appris la technique de {\bf sommation partielle} (identique à l'IPP, mais pour les sommes), tu te ramènes à une intégrale de Stieltjes (que tu dois connaître puisque le niveau indiqué est M2 ou plus...) : si on note $\chi$ la fonction indicatrice des nombres premiers, on a $$\sum_{p \leqslant x} f(p) \ln p = \sum_{1 < n \leqslant x} \chi(n) f(n) \ln n = \int_{1}^{x} f(t) d \left ( \sum_{n \leqslant t} \chi(n) \ln n \right ),$$ et une IPP (au sens de l'intégrale de Stieltjes) fournit : $$\sum_{p \leqslant x} f(p) \ln p = f(x) \sum_{n \leqslant x} \chi(n) \ln n - \int_{2}^{x} f'(t) \left ( \sum_{n \leqslant t} \chi(n) \ln n \right ) \, dt = f(x) \theta(x) - \int_{2}^{x} f'(t) \theta(t) \, dt.$$
Borde. -
je me suis trompé dans le niveau je suis en math sup...comment faire?
-
svp vite
-
OK...Tout d'abord, ne pas paniquer : tous ces calculs reposent plus ou moins sur une IPP. Le plus simple de tous est la {\it transformation d'Abel}, que tu devrais connaître. On a : $$\sum_{i=1}^{k} \ln(p_i) f(p_i) = f(p_k) \sum_{i=1}^{k} \ln(p_i) - \sum_{i=1}^{k-1} (f(p_{i+1}) - f(p_i)) \sum_{j=1}^{i} \ln(p_j).$$ On va maintenant remplacer la différence $f(p_{i+1}) - f(p_i)$ par $\int_{p_i}^{p_{i+1}} f'(t) \, dt$, ce qui est valide puisque $f$ est $C^1$. On obtient : $$\sum_{i=1}^{k} \ln(p_i) f(p_i) = f(p_k) S(k) - \sum_{i=1}^{k-1} \left ( \int_{p_i}^{p_{i+1}} f'(t) \, dt \right ) S(i).$$ Il suffit alors de remarquer que, pour $p_i < t < p_{i+1}$, on a $S(i) = S(t)$, donc : $$\sum_{i=1}^{k-1} \left ( \int_{p_i}^{p_{i+1}} f'(t) \, dt \right ) S(i) = \sum_{i=1}^{k-1} \int_{p_i}^{p_{i+1}} f'(t) S(t) \, dt = \int_{2}^{p_k} f'(t) S(t) \, dt,$$ ce qui te donne ta première formule. Pour la seconde, tu utilises la première avec $k = N(x)$, en remarquant que, dans ce cas, $p_k = x$.
{\bf Remarques}.
1. J'ai repris tes notations pour faire plus simple, mais ces notations ne sont pas conformes (voir mon premier message ci-dessus).
2. En math sup, je conseille de bien retenir la formule de sommation partielle, très utile !
Borde.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 8 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres