fonction

Bonjour

Soit $(p_k)_{k \in \mathbb{N}^*}$ la suite des entiers premiers ordonnés par valeurs croissantes.
Pour $x$ et $y$ réels positifs avec $x>y$, on note
$E=\{i \in \mathbb{N}^*,\ y

Si je comprends bien tes (fausses) notations, on a $$K(x) = \prod_{p \leqslant x} p.$$ D'autre part, $N(x)$ se note en fait $\pi(x)$ et $S(x)$ se note $\theta(x)$ ($\theta$ est la première fonction de Tchebychev). Avec ces notations, on a par {\bf sommation partielle} : $$\sum_{p \leqslant x} \ln(p) f(p) = f(x) \sum_{p \leqslant x} \ln(p) - \int_{2}^{x} f'(t) \left ( \sum_{p \leqslant t} \ln p \right ) \, dt,$$ ce qui donne classiquement : $$\sum_{p \leqslant x} \ln(p) f(p) = \theta(x) f(x) - - \int_{2}^{x} f'(t) \theta(t) \, dt.$$ On utilise ensuite généralement le TNP sous la forme faible : $\theta(x) \sim x$ (lorsque $x \rightarrow \infty$) pour déterminer un équivalent de la somme de droite. On peut être plus précis en utilisant la borne de Schoenfeld $\theta(x) < 1,000081 \, x$, valable pour tout $x > 1$.

Pour plus de renseignement, consulter mon livre ("Thèmes d'arithmétiques", Ellipses).

Borde.

OK...Tout d'abord, ne pas paniquer : tous ces calculs reposent plus ou moins sur une IPP. Le plus simple de tous est la {\it transformation d'Abel}, que tu devrais connaître. On a : $$\sum_{i=1}^{k} \ln(p_i) f(p_i) = f(p_k) \sum_{i=1}^{k} \ln(p_i) - \sum_{i=1}^{k-1} (f(p_{i+1}) - f(p_i)) \sum_{j=1}^{i} \ln(p_j).$$ On va maintenant remplacer la différence $f(p_{i+1}) - f(p_i)$ par $\int_{p_i}^{p_{i+1}} f'(t) \, dt$, ce qui est valide puisque $f$ est $C^1$. On obtient : $$\sum_{i=1}^{k} \ln(p_i) f(p_i) = f(p_k) S(k) - \sum_{i=1}^{k-1} \left ( \int_{p_i}^{p_{i+1}} f'(t) \, dt \right ) S(i).$$ Il suffit alors de remarquer que, pour $p_i < t < p_{i+1}$, on a $S(i) = S(t)$, donc : $$\sum_{i=1}^{k-1} \left ( \int_{p_i}^{p_{i+1}} f'(t) \, dt \right ) S(i) = \sum_{i=1}^{k-1} \int_{p_i}^{p_{i+1}} f'(t) S(t) \, dt = \int_{2}^{p_k} f'(t) S(t) \, dt,$$ ce qui te donne ta première formule. Pour la seconde, tu utilises la première avec $k = N(x)$, en remarquant que, dans ce cas, $p_k = x$.

{\bf Remarques}.

1. J'ai repris tes notations pour faire plus simple, mais ces notations ne sont pas conformes (voir mon premier message ci-dessus).

2. En math sup, je conseille de bien retenir la formule de sommation partielle, très utile !

Borde.