Principe du maximum
Amis Forummeurs Bonjour!
J’ai deux petites questions à poser.
i) Soit f une fonction holomorphe sur C. Elle est donc continue sur la boule fermé D(0,1) qui est un compact. f y atteint donc son maximum, d’après le principe du maximum f est donc constante sur D(0,1) et partant sur C (par continuité et/ou par prolongement analytique). Or f(z)=z² est holomorphe sur C est n’est pas constant !
Je pense qu’il y a qq chose que je ne saisis pas qd à l’application du Principe de maximum.
Qq’un pourrait-il me dire ou est l’erreur dans mon raisonnement ? Merci
ii) Soit (Xn) une suite de variable aléatoire de densité N1(0,r) indépendantes (loi normale en dimension 1), soit Sn= X1+ …..+Xn.
Je voulais calculer la loi de Sn de deux façons :
En utilisant le fait que si X~ N1(0,1) et Y =aX+b Y~N1(b,a²), je trouve
Sn~N1(0,nr²).
Puis je me demandais si Sn et nX1 n’avais la même loi dans quel cas
Sn~N1(0,n²r²)
Je pense que mon premier résultat et le correct. Mais je ne sais pas expliquer pourquoi Sn et nX1 n’ont pas la même loi.
Pourriez-vous SVP m’aider ?
Je vous remercie d’avance
Ziggy
J’ai deux petites questions à poser.
i) Soit f une fonction holomorphe sur C. Elle est donc continue sur la boule fermé D(0,1) qui est un compact. f y atteint donc son maximum, d’après le principe du maximum f est donc constante sur D(0,1) et partant sur C (par continuité et/ou par prolongement analytique). Or f(z)=z² est holomorphe sur C est n’est pas constant !
Je pense qu’il y a qq chose que je ne saisis pas qd à l’application du Principe de maximum.
Qq’un pourrait-il me dire ou est l’erreur dans mon raisonnement ? Merci
ii) Soit (Xn) une suite de variable aléatoire de densité N1(0,r) indépendantes (loi normale en dimension 1), soit Sn= X1+ …..+Xn.
Je voulais calculer la loi de Sn de deux façons :
En utilisant le fait que si X~ N1(0,1) et Y =aX+b Y~N1(b,a²), je trouve
Sn~N1(0,nr²).
Puis je me demandais si Sn et nX1 n’avais la même loi dans quel cas
Sn~N1(0,n²r²)
Je pense que mon premier résultat et le correct. Mais je ne sais pas expliquer pourquoi Sn et nX1 n’ont pas la même loi.
Pourriez-vous SVP m’aider ?
Je vous remercie d’avance
Ziggy
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Réponses
2/ si $X$ et $Y$ sont gaussiennes indépendantes de loi respective $N(a, \sigma_1^2)$ et $N(b, \sigma_2^2)$ alors $X+Y$ est de loi $N(a+b, \sigma_1^2 + \sigma_2^2)$. (je pense que c'est dans ton cours ?)
Mais un corollaire du principe du maximum dit que (dans mon exemple)le maximum à l'intérieure de la boule est égale au maximum sur la frontière de la boule (car la fonction est continue sur C)
Donc comme la boule D(0,1) est compact et |f| est continue alors |f| atteint son maximum dans D(0,1) donc f est constante .....ce qui est manifestement pas le cas.
Il y a qq chose qui m'echappe.... ou est la faute dans mon raisonnement??
Merci
ainsi, ta fonction n'est pas nécessairement constante.