Dérivée d'ordre irrationnel ?

Jonathan1 · May 2006

Bon, voilà, j'ai une question peut-être un peu "débile" mais dans la lignée de notre grosse découverte à tous ( au lycée ? ) qu'il existait des puissances non "entières" ....

Je me lance : est-ce qu'il existe une théorie sur des dérivées non pas par exemple 2-ièmes mais par exemple alpha-ième ( mettez votre décimal, irrationnel, ... favori à la place d'alpha )

Est-ce qu'on pourrait lancer le concept d'une dérivée non entière ?

GERARD5 · May 2006

Une recherche sur le forum ("dérivée non entière") ou sur wikipedia devrait te montrer que le sujet est classique.
Cordialement

NB : Toute idée est bonne à priori, donc pas de honte à avoir pensé seul ce que d'autres ont construit depuis longtemps. Par contre, l'idée ne suffit pas (on ne fait pas de l'art moderne !), il faut encore en faire quelque chose.

Pilz · May 2006

On peut donner une définition à l' aide de la transformée de Fourier et des espaces de Sobolev, je crois

skyrmion0 · May 2006

Bonjour,

Comme le dit Pilz, on peut definir non entiere en se basant sur la formule :
$${\cal{F}}{f^{(n)}}=(2\pi \xi )^n {\cal{F}}(f)$$, valable pour par exemple une fonction $f$ de la classe de Schwartz et ${\cal{F}}$ designant le transfo de Fourier.

On a alors naturellement de definir pour tout \underline{$n\in\reel$}

$$f^{(n)}={\cal{f}}^{-1}((2\pi \xi )^n {\cal{F}}(f)).$$

Si on est physicien, on se propose pas de souci d'existence, si on est matheux, on fait en sorte que le menbre de droite est un sens, genre $A_n=\{f de Schwratz : (2\pi \xi )^n {\cal{F}}(f) \textrm{ est de Schwartz }\}.$ (A mediter ; o ) ...)

On peut faire bien sur, un peu plus general!
jn.

skyrmion0 · May 2006

Bonjour, \\
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Comme le dit Pilz, on peut definir une derivee non entiere en se basant sur la formule $:\$ \
$${\cal{F}}(f^{(n)})=(2\pi \xi )^n {\cal{F}}(f)$$, valable pour, par exemple, une fonction $f$ de la classe de Schwartz et ${\cal{F}}$ designant le transfo de Fourier. \\
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On a alors naturellement envie de definir pour tout \underline{$n\in\mathbb{R}$} \\
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$$f^{(n)}={\cal{F}}^{-1}((2\pi \xi )^n {\cal{F}}(f)).$$\\
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Si on est physicien, on se propose pas de souci d'existence, si on est matheux, on fait en sorte que le membre de droite est un sens, genre sur $A_n=\{f \textrm{ de Schwartz }: (2\pi \xi )^n {\cal{F}}(f) \textrm{ est de Schwartz }\}.$ (A mediter ; o ) ...)\\
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On peut faire bien sur, un peu plus general! \\
jn.

Dérivée d'ordre irrationnel ?

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