Entrainement pour futurs sup
Il y a de temps en temps des TS soucieux de s'avancer pour leur année de sup, à cette époque là moi aussi j'avais ce souci, mais la chose la plus interessante à faire c'est de lire son Français et de faire des exercices plus poussés qui donnent une idée des maths apres le lycée.
Donc je poste cet exercice, qui est une méthode de calcul de $\zeta(2)$ n'utilisant que des notions de tout début de sup, en reprenant ce que j'ai trouvé sur cette page: \lien{http://folium.eu.org/analyse/d2/d2.html}
(je pense qu'il y a une erreur dans l'introdution du polynome Q qui n'a plus 2n racines, mais n, ce qui n'a apparement pas été pris en compte dans la somme des cotangentes (cf. question 4 du PDF)).
Je ne pense pas avoir fait d'erreurs, peut-être y a-t-il des fautes d'orthographe, mais si il pouvait y avoir quelques relectures, notamment pour l'histoire du polynome Q...
Merci d'avance. Hugo
Donc je poste cet exercice, qui est une méthode de calcul de $\zeta(2)$ n'utilisant que des notions de tout début de sup, en reprenant ce que j'ai trouvé sur cette page: \lien{http://folium.eu.org/analyse/d2/d2.html}
(je pense qu'il y a une erreur dans l'introdution du polynome Q qui n'a plus 2n racines, mais n, ce qui n'a apparement pas été pris en compte dans la somme des cotangentes (cf. question 4 du PDF)).
Je ne pense pas avoir fait d'erreurs, peut-être y a-t-il des fautes d'orthographe, mais si il pouvait y avoir quelques relectures, notamment pour l'histoire du polynome Q...
Merci d'avance. Hugo
Réponses
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Dans la première méthode, il serait judicieux d'être un peu plus rigoureux : au niveau des inégalités qui ne devraient pas être toutes strictes, au niveau des quantificateurs manquants par exemple devant l'inégalité sin(x)<x<tan(x)... entre autres.
La 2ème méthode est encore plus tirée par les cheveux car les séries de Fourier ne sont vues qu'en milieu d'année de Spé... alors l'envisager avant la Sup me paraît un peu osé, n'est-il pas ?
Ton intention est bonne mais il y a encore du boulot.
PS : En cherchant sur le forum, tu trouveras plein de choses à propos du calcul de zeta(2). -
hugo,
<BR>tu reprends la preuve élémentaire de Iannis Papadimitriou publiée la première fois en 1973 dans l'American Mathematical Monthly.
<BR>Pour affiner la rédaction de ton problème, je te joins donc le texte original de cette preuve, qui, depuis, a été reprise un peu partout comme exercice.
<BR>Il paraît que le dénommé Papadimitriou était un mathématicien "amateur" quand il a découvert cette cette preuve...<BR> -
Salut Aleg,
Il aurait également intéressant d'avoir la preuve dite "élémentaire" de $\zeta(2n)$ par Apostol (à la fin de ton papier). Tu n'aurais pas la suite de cet intéressant article ?
Borde. -
bonjour Borde,
<BR>voici en pièces jointes l'article demandé, plus deux autres sur le même (inépuisable ?) sujet.<BR> -
Merci bien, Aleg...C'est du service rapide et efficace !
Quelques commentaires (je ne peux m'en empêcher...) :
1. L'article d'Apostol généralise celui de Papadimitriou, et est donc à ce titre très intéressant.
2. J'aime moins le second article, puisqu'il reprend un calcul de série de Fourier (archi-)classique.
3. J'aime bien les articles 1 et 3, ce qui semble logique car leurs auteurs sont des gens connus dans le milieu de la théorie analytique des nombres. A noter que le lemme 2 page 151 de l'article de Berndt peut aussi se démontrer en utilisant le calcul des résidus (on a déjà parlé de cette méthode ici).
Je voudrais aussi signaler que (dans mon bouquin) j'ai recalculé $\zeta(2)$ à partir de la série de Fourier de la fonction $x \mapsto \lVert x \rVert$, où $\lVert x \rVert$ désigne la distance de $x$ à son entier le plus proche. Je signale ça, car c'est {\bf RAJ} qui a eu cette brillante idée, j'avais pour ma part utilisé initialement Parseval. Cette méthode ne semble pas avoir été utilisée, apparemment !
Borde. -
bonsoir Borde,
En fait, dans les articles que j'ai joints plus haut, je ne connaissais que celui de Papadimitriou et de T. Apostol.
J'ai ajouté les deux autres (que je n'ai pas lus) uniquement parce qu'ils parlaient du même sujet, mais il y a en fait d'autres articles sur le calcul de $\zeta(2)$ (ou $\zeta(2n)$) dans ces journaux (mathematical american monthly + mathematics magazine). : je ne garantis pas qu'ils soient effectivement tous intéressants.
Ceci dit, de façon générale, si tu as besoin d'autres articles dans ces journaux, n'hésite pas (voir mon mail).
Par contre, en jetant un coup d'oeil rapide, je n'ai pas trouvé de calcul de $\zeta(2)$ qui ressemble au tien (dvlpt en série de Fourier de $\min_{n\in \Z}\,|x-n|$, ce qui est vraiment une brillante idée). Il est donc fort probable que ce calcul soit inédit (sauf dans ton bouquin évidemment..).
Je pense donc que tu devrais soumettre ce calcul pour publication (sous forme d'une courte "note" par exemple) dans l'un ou l'autre de ces journaux, dont l'audience est assez large et généraliste. Ce serait tout à fait adéquat au style d'article demandé et au public visé.
En plus, tu pourrais y mettre ton bouquin en référence bibliographique, et c'est ton éditeur qui te remerciera d'avoir ainsi boosté les ventes... (je plaisante biensûr, mais à moitié seulement...).
A défaut de booster les ventes, je viens de commander ton bouquin ; j'ai eu l'occasion de le feuilleter en librairie et j'ai trouvé que c'était un ouvrage de fort belle facture, où un béotien comme moi en théorie des nombres pourrait certainement prendre beaucoup de plaisir à apprendre des tas de choses qu'il ignore... -
En tout cas, et te concernant en lisant tes interventions ici, ce n'est certainement pas le terme de "béotien" que j'emploierais, loin de là !
Quant à l'idée de calculer $\zeta(2)$ par cette fonction $x \mapsto \lVert x \rVert$, elle vient de Richard André-Jeannin. Il y a longtemps que je travaille avec cette fonction (cf. chap 5 de ce livre), et j'avais calculé il y a deux ou trois ans sont développement en série de Fourier (qui ne sert pas à grand-chose, d'ailleurs, si ce n'est à s'entraîner...) pour voir un peu la tête qu'il avait. En guise d'application, j'avais mis dans une première version le résultat donné par Parseval qui devait fournir $\zeta(4)$, mais RAJ, lors de sa relecture, m'a suggéré de calculer directement $\zeta(2)$.
Cela méritait d'être signalé, et je crois qu'effectivement RAJ devrait écrire une note sur ça, s'il en a le temps et/ou l'envie, je trouve ton idée excellente...Espérons qu'il nous lira !
Et merci de t'intéresser à ce (modeste) travail !
A bientôt,
Borde.
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