Dérivées successives
Bonjour,
Une question concernant la dérivée seconde et plus généralement la dérivée $n$-ième. Je prends une fonction $f$ définie sur $\R$, dérivable. La dérivée seconde de $f$ en $x_0$, lorsqu'elle existe, est définie comme la limite du taux de variation de $f'$ :
$$f''(x_0)=\lim_{x\rightarrow x_0} \frac{f'(x)-f'(x_0)}{x-x_0}$$
Donc pour calculer cette dérivée, on passe par les valeurs de $f'$. Est-ce qu'on peut récupérer la dérivée seconde (et plus généralement la dérivée $n$-ième) à partir des valeurs de $f$ ?
Merci de vos réponses,
Michal
Une question concernant la dérivée seconde et plus généralement la dérivée $n$-ième. Je prends une fonction $f$ définie sur $\R$, dérivable. La dérivée seconde de $f$ en $x_0$, lorsqu'elle existe, est définie comme la limite du taux de variation de $f'$ :
$$f''(x_0)=\lim_{x\rightarrow x_0} \frac{f'(x)-f'(x_0)}{x-x_0}$$
Donc pour calculer cette dérivée, on passe par les valeurs de $f'$. Est-ce qu'on peut récupérer la dérivée seconde (et plus généralement la dérivée $n$-ième) à partir des valeurs de $f$ ?
Merci de vos réponses,
Michal
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Qui ce-que vous voulez dire par récupérer?
En tous cas, si $f$ est $n+1$ fois dérivable en $x_0$ on a:
$$f^{(n+1)}(x_0)=\lim_{x\rightarrow x_0} \frac{f^{(n)}(x)-f^{(n)}(x_0)}{x-x_0}$$
med
Borde.
Si $f$ est $C^2$ au voisinage de $x_0$: ($h=x-x_0$)
$$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)h+f''(x_0)\frac{h^2}{2}+\varepsilon(x_0+h)$$
avec le $\varepsilon(x_0+h))\longrightarrow 0$ si $h\longrightarrow 0$.
med
Borde.
Med : Récupérer... je ne sais pas moi - obtenir...
Borde : j'imagine que tu voulais dire $\mathcal C^2$, plutôt que deux fois dérivable.
Par ailleurs, ça doit se généraliser à la dérivée $n$-ième et je me demande (peut-être naïvement) si la "récupération" de $f$ passe obligatoirement par une limite.
Prend $x \sin(\frac{1}{x})$...
Cordialement
Borde.
$$f^{(2p)}(x_0)=\frac{(2p)!}{2}\lim_{h \rightarrow 0} \frac {f(x_0+h) + f(x_0-h) -2[\sum_{k=0}^{p-1}h^k\frac{f^{(2k)}(x_0)}{(2k)!}]}{h^{2p}}$$
On peut illustrer cette dernière formule par l'exemple $f(x)=e^x$ avec $p=1$ et $x_0=0$, d'après la celle-ci on retrouve bien:
$$f''(x_0) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac {f(x_0+h) + f(x_0-h) - 2f(x_0)}{h^2}$$
ce qui donne: (l'hôpital)
$$(e^x)''(0)=lim_{h \rightarrow 0} \frac {e^h + e^{-h}- 2}{h^2}=1$$
On peut de même établir une autre formule donnant $f^{(2p+1)}(x_0)$ en procédant par la méthode indiqué par borde, cette fois on soustrait $f(x_0-h)$ de $f(x_0+h)$.
med