Interprêtation

naos · May 2006

Bonjour,

J'ai un exo dans lequel on considére f, une fonction cpm sur $[0;2\pi]$, positive et décroissante, $J_n = \int_0^{2\pi} f(t) \sin(nt) dt$ et $K_n = \int_0^{2\pi} f(t) |sin(nt)|dt$

A la fin de cet exercice, on conclut que :
$$ \lim_{n \rightarrow \infty } K_n = \int_0^{2 \pi} f(t) \left( \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} |sin u| du \right) dt$$

Parce que je n'aime pas faire un exo sans en comprendre le but, j'aimerais bien savoir ce qu'on démontré là. Est-ce une "inversion" (un peu comme montrer que la transformée de Fourier admet bien pour inverse l'inverse qu'on lui connaît) ? D'habitude, c'est pas assez explicite, mais là je ne sais pas trop. C'est juste histoire de pas me coucher bête ce soir

merci

Cordialement

corentin · May 2006

Non, ce n'est pas une inversion. Ca relève plutôt de la dualité.
On peut voir $\int \sin(nt)f(t)$ comme une forme linéaire sur un espace de fonctions.
D'une certaine façon, les formes linéaires peuvent se voir comme des détecteurs, qui servent à obtenir de l'information. Par exemple en dimension finie, tu sais qu'avec une base duale tu peux obtenir les coordonnées de tout vecteur.
Ici, ce que dit l'exercice, c'est que la fonction $\sin(nt)$ devient tellement oscillante que les fonctions $f$ ne parviennent plus à distinguer les valeurs que prend $\sin(nt)$. Au lieu de ça, on ne voit plus que sa valeur moyenne.
En fait, si tu continues un peu les maths, tu verras la notion de convergence faible en licence: si $V$ est un espace vectoriel, $V'$ son dual, on dit que $v_n$ tend faiblement vers $v$ lorsque $\forall\, f\in V':\ \longrightarrow v$.
(qui a plein de propriétés extrèmement intéressantes)

naos · May 2006

Hmm d'accord.

Ca m'a l'air interessant ! J'ai hâte de rencontrer tout ça

Merci à toi.

Cordialement

Interprêtation

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 26