sup des fn

naos · May 2006

Bonjour,

Pour prouver que l'intégrale $$I_n = \int_{0}^{1} \frac{1}{1+t+...+t^n}dt$$ tend vers 0 (j'ai montré que ca converge, etc...), j'étudie la différence :
$$I_n - \int_{0}^{1} (1-t)dt$$.

Je pose donc $f_n(t) = \frac{1-t}{1-t^{n+1}}-1+t$. Et donc je cherche le sup de $f_n$ sur [0;1]. On obtient vite fait qu'il faut 1/(n+1), donc on majore l'intégrale et on conclut que la différence tend vers 0. Ca marche bien.

Pensez vous que cette méthode soit correcte en sup ? Je veux dire par là, qu'il ne manque pas de justifications (c'est le théorème de CV dominée "caché" donc je risque de me faire taper sur les doigts si tout n'est pas correctement justifié) ?

corentin0 · May 2006

Où vois tu de la convergence dominée?
Par ailleurs il doit y avoir une erreur, puisque tu as montré que $I_n\longrightarrow 0$ et $I_n-\int_0^1(1-t)dt=I_n-\frac{1}{2}\longrightarrow 0$.

naos · May 2006

Effectivement, j'ai écrit une bétise : $I_n$ tend vers 1/2, et non 0. J'ai montré la convergence, et maintenant je cherche à prouver que la limite est 1/2.
Je pensais qu'il y avais de la convergence dominée, mais si ce n'est pas le cas, tant mieux comme ca plus de probléme

Par contre, en relisant mes notes, je m'aperçois que j'ai fait une énorme erreur dans la justification du sup. Le sup est bien 1/(n+1), mais du coups ma preuve est fausse. Saurais-tu (ou quelqu'un d'autre) comment montrer que les $f_n$ prennent leur max en 1 ?

Cordialement

corentin0 · May 2006

Au sujet de la convergence dominée, le théorème dit que si on a $g$ intégrable telle que $|f_n|\leq g$ et $f_n\longrightarrow 0$ alors$\int f_n\longrightarrow 0$. C'est un théorème beaucoup plus fort que ce que tu utilises.
Ici, tu dis avoir simplement $|f_n|\leq \frac{1}{n+1}$ donc $|\int f_n|\leq \int |f_n|\leq \int \frac{1}{n+1}=\frac{1}{n+1}$.

J'ai regardé l'exercice, il me semble qu'il suffit d'écrire $\frac{1-t}{1-t^{n+1}}+t-1=t^{n+1}\frac{1-t}{1-t^{n+1}}$, puis de majorer intelligemment cette quantité.

oumpapah0 · May 2006

Bonjour
 On a <IMG WIDTH="274" HEIGHT="58" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/05/6/86985/cv/img1.png" ALT="$ \displaystyle I(n)=\int_0^1(1-t) \mathrm dt +J(n) =\frac{1}{2}+J(n)$">
 avec <IMG WIDTH="206" HEIGHT="58" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/05/6/86985/cv/img2.png" ALT="$ J(n)=\displaystyle \int_0^1\frac{ t^{n+1}}{1+t+\ldots +t^n} \mathrm dt$">
 et banalement <IMG WIDTH="204" HEIGHT="58" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/05/6/86985/cv/img3.png" ALT="$ \displaystyle 0<J(n)\leq \int_0^1 t^{n+1}=\frac{1}{n+2}$">
 the end
 Oump
 
 [Les intégrales, c'est quand même plus facile à lire avec LaTeX

AD]

naos · May 2006

Merci à vous pour vos idées.

Cordialement

Alain Debreil · May 2006

Bonjour
On a $\displaystyle I(n)=\int_0^1(1-t) \mathrm dt +J(n) =\frac{1}{2}+J(n)$
avec $J(n)=\displaystyle \int_0^1\frac{ t^{n+1}}{1+t+\ldots +t^n} \mathrm dt$
et banalement $\displaystyle 0

oumpapah0 · May 2006

pour AD

une fois de plus merci..
oui oui..j'ai aujourd'hui 27 ans dans le desordre, il serait temps que je tienne mes promesses de me mettre au latex..

Oump.

[Quand tu veux Oump

AD]

sup des fn

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