A propos des DL

m@tix · May 2006

Bonjour,

Dans un exercice, je me suis retrouvé à développer le quotient $\frac{cos \, x}{x \, sin \, x}$ à l'aide de DL.

J'ai alors obtenu l'expression $\frac{1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+x^4 \epsilon(x)}{x^2-\frac{x^4}{6}+x^4 \epsilon(x)}$

Le prof nous avait auparavant bien dit qu'on serait amené à faire une division euclidienne.
Ainsi, dans ma copie, j'ai fait la division euclidienne de $1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}$ par $x^2-\frac{x^4}{6}$.

Or, il s'avère que le raisonnement que j'ai tenu est faux. Le prof m'a dit qu'il aurait fallu que je factorise le dénominateur par $x^2$ afin d'obtenir un premier terme non nul. Pourquoi est-ce nécessaire? Il n'est pourtant pas égal à $0$ tant qu'on ne remplace pas $x$ par $0$ non?!

Et en plus, j'obtiens au final le même résultat ...

Si vous pouviez m'expliquer ..

GERARD5 · May 2006

Je ne saisis pas vraiment le problème, en dehors du fait (je pense que c'est l'idée de ton prof) que le DL quotient n'est obtenu en divisant que si le diviseur n'est pas nul en 0.
Par contre, dans ton cas, après factorisation par x², il ne te reste qu'un DL d'ordre 2, et tu as un DL d'ordre 4 en haut. Il faut donc partir d'un DL d'ordre 6 au dénominateur, pour obtenir un DL d'ordre 4, à remultiplier par 1/x².
Il doit donc y avoir une légère différence sur le dernier terme.

Maple donne 1/x²-1/3-x²/45

Cordialement

michael · May 2006

Bonjour,

Dans un exercice, je me suis retrouvé à développer le quotient $\displaystyle{\frac{cos \, x}{x \, sin \, x}}$ à l'aide de DL.

J'ai alors obtenu l'expression $\displaystyle{\frac{1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+x^4 \epsilon(x)}{x^2-\frac{x^4}{6}+x^4 \epsilon(x)}}$

Le prof nous avait auparavant bien dit qu'on serait amené à faire une division euclidienne.
Ainsi, dans ma copie, j'ai fait la division euclidienne de $\displaystyle{1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}}$ par $\displaystyle{x^2-\frac{x^4}{6}}$.

Or, il s'avère que le raisonnement que j'ai tenu est faux. Le prof m'a dit qu'il aurait fallu que je factorise le dénominateur par $x^2$ afin d'obtenir un premier terme non nul. Pourquoi est-ce nécessaire? Il n'est pourtant pas égal à $0$ tant qu'on ne remplace pas $x$ par $0$ non?!

Et en plus, j'obtiens au final le même résultat ...

Si vous pouviez m'expliquer ..

borde · May 2006

Détaillons l'idée de Gérard : $$\frac {\cos x}{x \sin x} = \frac {1}{x^2} \times \frac {1 - x^2/2 + x^4/24 + o(x^4)}{1 - x^2/6 + x^4/120 + o(x^4)}.$$ On compose alors avec le DL (en $0$) de $1/(1-X)$ à l'ordre 2, avec, ici, $X = x^2/6 - x^4/120 + o(x^4)$, ce qui donne : $$\frac {\cos x}{x \sin x} = \frac {1}{x^2} \times \left ( 1 - \frac {x^2}{3} - \frac {x^4}{45} + o(x^4) \right ).$$

Borde.

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