Une somme en question
Salut,
C'est une question que je me pose, voilà:
On sait tous que la limite de la somme suivante:
$$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k!}$$
lorsque n tend vers $+\infty$ est $e$, qui est irrationnel, bien que tous les termes de la somme sont rationnels.
Ce que je sais, c'est que la somme des rationnels est un rationnel et non pas un irrationnel !!
Mais ça doit certainement avoir une explication.
Merci de m'aider à comprendre
med
C'est une question que je me pose, voilà:
On sait tous que la limite de la somme suivante:
$$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k!}$$
lorsque n tend vers $+\infty$ est $e$, qui est irrationnel, bien que tous les termes de la somme sont rationnels.
Ce que je sais, c'est que la somme des rationnels est un rationnel et non pas un irrationnel !!
Mais ça doit certainement avoir une explication.
Merci de m'aider à comprendre
med
Réponses
-
Bonsoir,
<BR>
<BR>Une somme finie de rationnels est un rationnel.
<BR>Une somme infinie de rationnels (si elle existe) n'est pas forcément un rationnel.
<BR>
<BR>Amicalement.
<BR>Olivier.<BR> -
Oui, en effet, je suis d'accord, mais comment peut-on expliquer ça?!
-
Salut,
Quand tu construit $\R$ en utilisant les suites de Cauchy de $\Q$, il y a un théorème qui sort qui dit : "Tout nombre réel est limite d'une suite de nombres rationnels."
Tu peux avoir la construction de $\R$ dans, je pense, pas mal de livre avec cette méthode. Par exemple avec le livre :
"Cours de mathématiques du premier cycle, 1re année" de "J. Dixmier" chez
DUNOD.
Et ta série est avant tout la limite de la suite $(u_n)$ avec
$u_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k!}$
Et il se trouve que cette suite converge vers un irrationnel.
Je veux dire c'est pas un phénomène rare qu'une
suite de rationnels converge vers un irrationnel
puisque les irrationnels sont construits comme limites
de rationnels.
Pour t'en convaincre de manière intuitive prends un irrationnel
$r = E,d_1d_2d_3...d_n...$
Alors tu as :
$r = E + \frac{d_1}{10^{1}} + + \frac{d_2}{10^{2}} + \frac{d_3}{10^{3}} + ... + \frac{d_n}{10^{n}} + ...$
En d'autres termes si ta partie entière $E$ vaut $0$ Alors tu as
$r = \sum_{1}^{\infty} \frac{d_n}{10^{n}}$
Ou encore si tu prends la suite $(u_n)$ définie par
$u_0 = E$
$u_1 = E,d_1$
$u_2 = E,d_1d_2$
$u_3 = E,d_1d_2d_3$
$u_n = E,d_1d_2...d_n$
Tu vois que $u_n \longrightarrow r$
Tu peux en déduire un petit théorème :
Soit $x \in \R-\Q$ et soit la suite $(\frac{p_n}{q_n})_{n \in \N}$ telle que
$p_n \in \Z$, $q_n \in \N^{*}$ et $\frac{p_n}{q_n} \longrightarrow x$.
Alors $q_n \longrightarrow \infty$ et $|p_n| \longrightarrow \infty$. -
Merci coincoin, ça m'a beaucoup aidé.
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