Une somme en question

Bonsoir,
<BR>
<BR>Une somme finie de rationnels est un rationnel.
<BR>Une somme infinie de rationnels (si elle existe) n'est pas forcément un rationnel.
<BR>
<BR>Amicalement.
<BR>Olivier.<BR>

Salut,

Quand tu construit $\R$ en utilisant les suites de Cauchy de $\Q$, il y a un théorème qui sort qui dit : &quotTout nombre réel est limite d'une suite de nombres rationnels."

Tu peux avoir la construction de $\R$ dans, je pense, pas mal de livre avec cette méthode. Par exemple avec le livre :
&quotCours de mathématiques du premier cycle, 1re année" de &quotJ. Dixmier" chez
DUNOD.

Et ta série est avant tout la limite de la suite $(u_n)$ avec
$u_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k!}$
Et il se trouve que cette suite converge vers un irrationnel.
Je veux dire c'est pas un phénomène rare qu'une
suite de rationnels converge vers un irrationnel
puisque les irrationnels sont construits comme limites
de rationnels.

Pour t'en convaincre de manière intuitive prends un irrationnel
$r = E,d_1d_2d_3...d_n...$
Alors tu as :
$r = E + \frac{d_1}{10^{1}} + + \frac{d_2}{10^{2}} + \frac{d_3}{10^{3}} + ... + \frac{d_n}{10^{n}} + ...$
En d'autres termes si ta partie entière $E$ vaut $0$ Alors tu as
$r = \sum_{1}^{\infty} \frac{d_n}{10^{n}}$
Ou encore si tu prends la suite $(u_n)$ définie par
$u_0 = E$
$u_1 = E,d_1$
$u_2 = E,d_1d_2$
$u_3 = E,d_1d_2d_3$
$u_n = E,d_1d_2...d_n$
Tu vois que $u_n \longrightarrow r$

Tu peux en déduire un petit théorème :

Soit $x \in \R-\Q$ et soit la suite $(\frac{p_n}{q_n})_{n \in \N}$ telle que
$p_n \in \Z$, $q_n \in \N^{*}$ et $\frac{p_n}{q_n} \longrightarrow x$.
Alors $q_n \longrightarrow \infty$ et $|p_n| \longrightarrow \infty$.