concours ensi
Aujourd'hui c'était math et physique 1 pour le concours ensi.
Je me suis un peu embrouillé sur une question en maths et j'aimerais bien avoir vos avis : on considère la fonction : $h$ définie sur $\R$ par :
$f(x)=0$ si $x\leq 0$ et $f(x)=e^{\frac{-1}{x}}$ si $x>0$.
h est-elle développable en série entière au voisinage de 0?
J'ai finalement répondu non. Pour me justifier j'ai invoqué le fait qu'au voisinage de $0$ :
$\forall k \in \N$, on a : $h(x)=o(x^k)$. Est-ce correct?
Merci
Je me suis un peu embrouillé sur une question en maths et j'aimerais bien avoir vos avis : on considère la fonction : $h$ définie sur $\R$ par :
$f(x)=0$ si $x\leq 0$ et $f(x)=e^{\frac{-1}{x}}$ si $x>0$.
h est-elle développable en série entière au voisinage de 0?
J'ai finalement répondu non. Pour me justifier j'ai invoqué le fait qu'au voisinage de $0$ :
$\forall k \in \N$, on a : $h(x)=o(x^k)$. Est-ce correct?
Merci
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Réponses
Est-ce aussi une justification correcte?
la fonction f définie par f(x)=exp(-1/x) n'est pas développable au voisinage de l'origine
en effet pour x tendant vers 0+ la fonction est nulle ainsi que toutes ses dérivées
et pour x tendant vers 0- il n'existe pas non plus de développement
par contre il est possible de trouver un développement asymptotique de f
f(x)=1 - 1/x + 1/(2!x²) - 1/(3!.x^3) + .......+ (-1/x)^n /n!+.....
développement utilisable lorsque x tend vers plus l'infini
cordialement
\\
Est-ce aussi une justification correcte?
Guego est un peu dur avec toi ! La série entière nulle est la seule pour laquelle ton argument soit en défaut. Si tu n'as pas au moins la moitié des points de la question, c'est qu'on met zéro à tout le monde.
En gros c'est un exemple classique de fonctions C infini non DSE.