Applications propres injectives

Bonjour.
Je cherche à montrer qu'une application continue propre et injective de $\R^{n}$ dans $\R^{n}$ est surjective. Je ne sais pas s'il existe de solution triviale mais je ne peux pas me passer d'un argument de topologie algébrique. Merci de me répondre car je ne voudrais pas utiliser un marteau-pilon pour écraser une mouche.

Mon argument est le suivant : si l'application n'était pas surjective, alors grâce à des projections stéréographiques, on obtiendrait une injection continue de $\S^{n}$ dans $\R^{n}$, ce qui est faux...

PLG