pgcd de polynômes
Réponses
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algorithme d'Euclide.
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qui consiste à...?
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ex: A=X^4+1
B=X^3-1
alors A=BQ+R Q=X R=X+1
Q=RQ1+R1 Q1=X²-X+1 R1=-2
Q1=R1*Q2+R3 Q2=(-1/2)(X²-X+1) R3=0
Le dernier reste non nul est -2 (=R1)donc A et B sont premiers entre eux
ie pgcd(A,B)=1 -
L'algorithme d'Euclide consiste à écrire les divisions euclidiennes (DE) successives (comme pour les entiers)
Si on pose $A = B.Q_1+R_1$, tu effectue la DE de $B$ par $R_1$ qui s'écrit : $B=R_1.Q_2+R_2$.
Tu cherches ensuite la DE de $R_1$ par $R_2$ .. etc
jusqu'a ce que tu trouve un $R_n=0$. (Ce qui arrive un jour car les degrés des $R_k$ sont strictement décroissants)
LE PGCD sera alors l'associé unitaire de $R_{n-1}$ -
On utilise le fait que pgcd(A,B)=pgcd(B,R) si la division euclidienne de A par B s'écrit A=BQ+R. On réitère jusqu'à ce que le reste soit nul. Le dernier reste non nul est alors le pgcd recherché.
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merci
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