pgcd de polynômes

stoichlov
stoichlov
dans Analyse
Bonjour
Est-ce quelqu'un pourrait me présenter la méthode pour calculer le pgcd de 2 polynômes ?
Par exemple le pgcd des poly A et B avec :
A=X^6+2X^4-3X²+1   ;   B=X^6+X^3+1
Merci d'avance

Réponses

  • B_J
    B_J
    algorithme d'Euclide.
  • stoichlov
    stoichlov
    qui consiste à...?
  • B_J
    B_J
    ex: A=X^4+1
    B=X^3-1
    alors A=BQ+R Q=X R=X+1
    Q=RQ1+R1 Q1=X²-X+1 R1=-2
    Q1=R1*Q2+R3 Q2=(-1/2)(X²-X+1) R3=0
    Le dernier reste non nul est -2 (=R1)donc A et B sont premiers entre eux
    ie pgcd(A,B)=1
  • Richard
    Richard
    L'algorithme d'Euclide consiste à écrire les divisions euclidiennes (DE) successives (comme pour les entiers)

    Si on pose $A = B.Q_1+R_1$, tu effectue la DE de $B$ par $R_1$ qui s'écrit : $B=R_1.Q_2+R_2$.

    Tu cherches ensuite la DE de $R_1$ par $R_2$ .. etc

    jusqu'a ce que tu trouve un $R_n=0$. (Ce qui arrive un jour car les degrés des $R_k$ sont strictement décroissants)

    LE PGCD sera alors l'associé unitaire de $R_{n-1}$
  • bisam
    bisam
    On utilise le fait que pgcd(A,B)=pgcd(B,R) si la division euclidienne de A par B s'écrit A=BQ+R. On réitère jusqu'à ce que le reste soit nul. Le dernier reste non nul est alors le pgcd recherché.
  • stoichlov
    stoichlov
    merci
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