Inégalité : pi^9 < 10 e^8 ?

Challenger0 · May 2006

Montrer que : <IMG WIDTH="73" HEIGHT="34" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/05/3/86720/cv/img1.png" ALT="$ \pi^9e^{-8}<1$">
 
 Challenger.

borde · May 2006

Puisque $\pi > 3 > e$, on a $\ln (\pi) > 1$ et donc $9 \ln(\pi) > 9 > 8$. L'inégalité proposée est donc fausse, à moins que quelque chose ne m'ait échappé.

Peut-être était-ce : {\it montrer que} $\pi^8 e^{-9} >1$ ?

Borde.

Challenger0 · May 2006

Je m'ai trompé, Borde, c'est :$$\pi^9e^{-8}

Nougy · May 2006

Dans quel cadre faut il démontrer ceci ?
Car les majorations devront être assez fines...
Le résultat fait 9,9998388 d'après google
<http://www.google.fr/search?hl=fr&q=Pi^9*e^(-8)&btnG=Recherche+Google&meta=>

Challenger0 · May 2006

Euh...je me pose effectivement la question.
 Qu'admet-on? Que démontre-t-on?
 L'idée m'est venu de <a href=" http://mathworld.wolfram.com/AlmostInteger.html"> http://mathworld.wolfram.com/AlmostInteger.html</a>
 
 Challenger

Michiel Vermeulen · May 2006

On a : pi < 3,141594 et e < 2,71828

Et l'inégalité suit.
Michiel

Yalcin · May 2006

Une solution : on démontre que ${\left( {\sum\limits_{k = 0}^{22} {\frac{{8^k }}{{k!}}} } \right) - \frac{1}{{10}}\left( {\frac{{355}}{{113}}} \right)^9 > 0}$ et que $\pi < \frac{{355}}{{113}}$ ,d'où la réponse.

Cordialement Yalcin