HC et théorie de la mesure

ludo18 · May 2006

bonsoir,

je suis à la recherche d'un exemple de partie du plan non Lebesgue mesurable or jusqu'à présent je n'en ai trouvé qu'une seule mention, dans "Analyse reelle et complexe" de W.Rudin.

Mais ce dernier suppose l'hypothèse du continu et quelques corollaires sur la dénombrabilité de certains sous ensembles: n'etant pas "inattaquable" sur la théorie des ordinaux (même si je suppute dans le cas présent un isomorphisme avec des segments initiaux de l' ordinal considéré...) je cherche un autre exemple qui ne ferait intervenir "simplement" que l'axiome du choix, auquel je suis plus accoutumé...

Mais là encore rebelotte, ma seule source est un exo du Gramain où la question pivot - sur le cardinal de certaines sections horizontales et verticales - est fausse sans que je sache par quoi la remplacer.

Alors si d'aventure quelqu'un dispose d'un exemple de rechange, je suis preneur ... Merci !

Pilz · May 2006

Admettons que tu connaisses un ensemble non mesurable de $\R$ notons le $A$, alors
$B=\{(x,y) / \ x \in A, \ y \in \R\}$ est non mesurable
car s'il l'était alors sa projection sur l'axe des abscisses le serait aussi, or sa projection c'est $A$!

Et construire un ensemble non Lebesgue mesurable sur $\R$ est assez classique et ne fait appel qu' à l' axiome du choix

coincoin8 · May 2006

C'est quoi la théorie des ordinaux ?

ludo18 · May 2006

merci Pilz pour cette explication aussi séduisante que simple ... ne me convaincs qu'à moitié parceque "trop belle pour être vraie", j'écris à chaud mais je ne connais pas de résultats sur la nature mesurable d'image d'ensembles mesurables fut-ce par une application continue car sinon des matheux éminents comme Gramain ou Rudin n'iraient pas chercher des exemples aussi "pathologiques"... (en tout cas tu as raison l'exemple d'ensembles non mesurables de R est facilement trouvable dans la littérature disponible).
Si tu as d'autres lumières à nous apporter je serais ravi d'en discuter.

Pilz · May 2006

En fait je pensais que l'image continue d'un ensemble mesurable (pour la tribu de Borel ) était mesurable... Une fonction continue c'est gentil et comme les ensembles non mesurables c'est assez pathologique, je pensais que c'était évident.
Mais en y réfléchissant je pense que tu as raison, je ne vois aucun argument pour défendre mon affirmation et j'ai sûrement parlé trop vite, en plus si Rudin et Gramain donnent des contres exemples très compliqués c'est sûr que le mien ne doit pas marcher.

Ta question reste donc ouverte et excuse-moi pour cette fausse piste.

corentin0 · May 2006

Je pense que ton argument est correct Pilz, normalement, on montre dans la construction des espaces produits que la projection d'ensembles mesurables est mesurable. (c'est d'ailleurs fait dans le Rudin il me semble)
Par contre, le lien entre l'image d'un mesurable et la mesurabilité en général est pas évident du tout. Je sais qu'on peut montrer que l'image d'un ensemble de mesure nulle est de mesure nulle, mais il ne me semble pas avoir jamais lu que l'image d'un mesurable est mesurable.

A mon avis, si les exemples donnés sont beaucoup plus retors, c'est simplement parce que les auteurs ne voulaient pas faire un copier coller de la construction d'un ensemble mesurable sur $\R$ et donner un exemple propre à $\R^2$.

Pilz · May 2006

Donc tu penses que mon exemple est correct. Mais comment le justifier?

corentin0 · May 2006

C'est le premier théorème du chapitre intégration sur les espaces produits du Rudin.
Si je réécris ce qu'il dit dans $\R^2$, le théorème dit:
pour tout borélien de $\R^2$, pour tout $y\in\R$, les sections $E^y=\{x:\ (x,y)\in E\}$ sont des boréliens de $\R$.

Pour la preuve, il suffit de remarquer que le théorème est évident si on a un produit de boréliens, puis de vérifier que les ensembles vérifiant cette propriété forment une tribu.

ludo18 · May 2006

je suis bien content de voir que mon message suscite des réactions...

Au sujet de la contribution de Corentin on peut seulement en déduire par contraposée qu'un non mesurable de R^2 à une de ses projections non mesurable, quant à l'exemple "classique" à base de R/Q ce n'est pas un borelien que je sache donc l'autre piste suggérée me paraît (mais je peux me tromper) stérile.

Sur les images des boréliens et de leur image par des fonctions continues ou mesurable il me semble qu' Arnaudies ("integrale sur la droite réelle") mentionne que c'est une question délicate traitée dans le bouquin "Topology" de Kuratowski à propos d'ensembles "analytiques".

Bref je pédale toujours dans la semoule mais peut être que de la discussion jaillira la lumière.

Si j'ai mal appréhendé vos apports, n'hésitez surtout pas à me le signaler et encore merci à tous ceux qui interviendront!

corentin0 · May 2006

Je ne comprends pas trop.
Tu as demandé un exemple de partie du plan non lebesgue mesurable, Pilz t'a donné l'exemple de $E=A\times \R$. On a l'ensemble de niveau $E^0=\{x:\ (x,0)\in E\}=A$ qui est non mesurable, or mon argument montre qu'un mesurable a toutes ses projections mesurables. Donc $E$ n'est pas mesurable. (en fait, j'ai un petit doute à la réflexion, ça montre que ce n'est pas un borélien, mais les tribus complétés de $\R^2$ et de $\R$ sont des choses à manier avec précautions)

Et si tu ne veux pas utiliser cet argument, quitte à changer cet ensemble en $A\times [0,1]$, on peut refaire la même preuve que dans le cas d'un non mesurable de $\R$. Soit l'ensemble est de mesure nulle, soit il est de mesure non nulle, les deux cas mènent à une absurdité.
Je dis des bêtises?

ludo18 · May 2006

NON ce n'est pas une bêtise c'est moi qui ai eu un moment d'absence mentale: bien sûr que si un ensemble est mesurable ses sections sont mesurables donc par contraposée (juste cette fois ci) si une de ses deux sections n'est pas mesurable la partie du plan ne l'est pas (j'avais simplement oublié cette propriété élémentaire des espaces produits et de leurs sections) et les exemples fournis sont bons ... vis a vis de la tribu produit L*L MAIS ce n'est pas la tribu de Lebesgue du plan: du coup est ce ces exemples obtenus par produits cartésiens représentent ils des ensembles non mesurables pour la tribu de lebesgue du plan ??? Mystère

ludo18 · May 2006

Quelqu'un peut il me confirmer à ce sujet que l'ensemble des suites rationnelles nulles presque partout est non denombrable? C'est l'argument clé du gramain dans sa considération des sections horizontales et verticales de l'ensemble proposé...

ludo18 · May 2006

je fournis ici un résultat que je viens de lire:

AxB est mesurable ssi (A et B sont mesurables) ou (A ou B de mesure nulle)

archimède0 · May 2006

> Auteurs: corentin (---.crans.org)
> Date: 05-03-06 14:33

> ...Je sais qu'on peut montrer que l'image d'un ensemble de mesure nulle est de mesure nulle, ...

Voir l'image de la diagonale de $\R^2$ par la première projection !

corentin · May 2006

Ouais, bon, je me souviens plus des hypothèses, mais ça doit être quelque chose genre application continue de $\E$ dans $E$, avec $E$ espace raisonnable type $\R^n$.
Boh, je sais plus en fait.

HC et théorie de la mesure

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 3