Suites et intégrales

Alexousky
Alexousky
dans Analyse
Bonjour à tous,

Je bloque sur une question d'un exercice de suites et intégrales.

Voici l'énoncé :

Soit la suite (Un) définie pour n>(ou égal)à2 par :

Un = (intégrale de n à n+1)1/(xlnx) dx

et Sn somme des n-1 premiers termes de cette suite.

1° a) Exprimer Sn à l'aide d'une intégrale puis calculer.
b) On détermine la limite de Sn en + infini : je trouve + infini

2° Démontrer que pour tout entier k>(ou égal) à 2 :

1/(klnk) >(ou égal) Uk

C'est là ou je suis bloqué. J'ai essayé des encadrements avec Sn et Un mais sans succès. Si vous pouviez me donner quelques indices, ce serait le top.

Merci d'avance à tou et bonne après-midi,

@lex

Réponses

  • Guego0
    Guego0
    La fonction $\dfrac{1}{x\ln(x)}$ est décroissante. Donc, sur l'intervalle $[k,k+1]$, on a $\dfrac{1}{x\ln(x)} \leq \dfrac{1}{k\ln(k)}$. Il n'y a plus qu'à intégrer cette inégalité...
  • Guego0
    Guego0
    Une interprétation graphique de ce résultat : L'aire sous la courbe entre les points d'abscisses $k$ et $k+1$ est inférieure à l'aire du rectangle ayant pour base l'intervalle $[k,k+1]$ et de hauteur $\dfrac{1}{k\ln(k)}$ (ce qui est à peu près évident sur un dessin).
  • Alexousky
    Alexousky
    Merci pour votre réponse.

    J'ai pensé à ça mais, et c'est là certainement mon erreur, je ne vois pas comment ariver à l'égalité avec ca : si on intégre, on obtient : Un<(ou égal)Uk non ?
    J'ai du mal assimilé quelquechose ...
  • B_J
    B_J
    $\int \frac{1}{xln(x)}dx=ln(|ln(x)|)$
    et $S_n=\sum_{i=2}^{n}U_n =\int_{2}^{n}\frac{1}{xln(x)}dx=[ln(|ln(x)|)] 2,n=ln\frac {ln(n)}{ln2}$
  • B_J
    B_J

    $S_n=\sum_{i=2}^{n}U_i $
  • Guego0
    Guego0
    "si on intégre, on obtient : Un<(ou égal)Uk non ?"
    <BR>
    <BR>Ben non. Tu obtiens exactement ce que tu souhaites.
    <BR>En plus, je ne vois pas pourquoi on obtiendrait quelque chose avec <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="21" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/05/2/86665/cv/img1.png&quot; ALT="$ u_n$"></SPAN> étant donné qu'aucun <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="13" HEIGHT="13" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/05/2/86665/cv/img2.png&quot; ALT="$ n$"></SPAN> n'intervient dans ce que j'ai écrit...<BR>
  • Alexousky
    Alexousky
    D'accord mais je vois comment on obtient 1/klnk>Uk quand on intégre ...
    En intégrant on obtient : (intégrale de k à k+1) 1/klnk >Uk
  • Alexousky
    Alexousky
    D'accord mais je ne vois pas comment on obtient 1/klnk>Uk quand on intégre ...
    En intégrant on obtient : (intégrale de k à k+1) 1/klnk >Uk
  • Guego0
    Guego0
    Exactement, et cette fameuse intégrale au membre de gauche vaut ce qu'on veut, puisque c'est l'integrale de la fonction constante de valeur $\frac{1}{k\ln(k)}$, sur un intervalle de longueur 1.
  • Alexousky
    Alexousky
    Ah d'accord je vois : c'est cette subtilité que je n'ai pas saisie.
    En tout cas je vous remercie beaucoup de m'avoir aidé ainsi que B_J pour avoir confirmé les résultats que j'ai trouvé pour la question 1.

    Merci à tous,
    Bonne après-midi.
    Alex
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 6

6 Invités