Espace de Hilbert

c'est quoi ta définition de séparable ?

Si H est séparable, on construit un système orthonormal maximal dénombrable à l'aide du procédé de Gram-Schmidt.


Pour la réciproque, il faut un peu ruser : soit $(e_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une famille orthonormale et maximale (j'utilise toujours "totale" enfin bon). On considère toutes les combinaisons linéaires (finies) à coefficients rationnels des $e_n$. Il y en a un nombre dénombrable, car une union dénombrable d'ensembles dénombrables est dénombrable. Il n'est pas difficile de voir que cela forme une partie dense, en utilisant la densité des $e_n$ et de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$.

oops : lire "la densité de l'espace engendré par les $e_n$", qui implique notamment que si
$$E_n=Vect(e_1...e_n)$$
alors $H=\overline{\bigcup_{n\geq 1}E_n}$.

Non pour la première question. Tout élément est "combinaison linéaire infinie" d'éléments de S, ou plus rigoureusement, est une famille sommable de la forme $\sum_i \lambda_ie_i$ où $S=(e_i)_{i\in I}$.
Une famille possédant la propriété que tu avances est une famille génératrice, c'est une notion beaucoup plus forte qu'être une famille orthonormale maximale.

Par exemple, on peut trouver une famille orthonormale maximale dénombrable dans $L^2([0,2\pi]$ avec des exponentielles, mais le cardinal d'une base, et donc d'une famille génératrice, est strictement plus que dénombrable.


Pour la deuxième question, il est très simple de vérifier qu'une famille orthogonale est libre.