Théorème de Runge

Pour ceux qui ne pourrait pas télécharger mon fichier .pdf, je mets la version "latex normale" ici :

{\bf LEMME: }
Pour la division équidistante de $[a,b]=[-1,1]$, on a
$x_{i}^{(n)}= -1 + 2 \frac{i}{n}$ pour $i\in \{ 0,1,\ldots,n\}$,
et pour le polynôme $\displaystyle\pi_n(z) = \prod_{i=0}^{n}
(z-x_{i}^{(n)})$ on a
$$ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\vert \pi_n(z)\vert} = G(z) $$
où
$$G(z) = exp\Big( \frac{1}{2} \Re((z+1)\log(z+1) - (z-1)\log(z-1)) -1 \Big) $$


{\bf REMARQUE: }
pour un $x \in [-1,1]$, ona:
$$ G(x) = e^{-1} \sqrt{(1+x)^{1+x}(1-x)^{1-x}}$$
En particulier $G(0)= \frac{1}{e}$ et $G(\pm 1)=\frac{2}{e}$



{\bf Théorème de Runge }
Soit $f$ une fonction rationnelle définie sur $[-1,1]$ et
$\beta\in [-1,1]$.\\
Si $f$ n'a pas de singularité dans $\{
z,G(z)\leq G(\beta )\}$,
alors :
$$\displaystyle\lim_{n\longrightarrow\infty} p_n(x)=f(x)
\text{ pour } x\in [-\beta,\beta ]$$


{\bf PREUVE: }
Soit $\gamma$ la courbe fermée définie par $G(z)=G(\beta)$. Par
hypothèse, tous les pôles de $f(z)$ sont en dehors de $\gamma$.\\
Pour $x\in [-\beta,\beta ]$ \
$x$ est à l'intérieur de la courbe, donc $G(x)\leq G(\beta ),
\forall x\in [-\beta,\beta]$.\\
Or, $G(\beta )=G(z), \forall z\in\gamma$, donc $G(x)\leq G(z)
\forall z\in\gamma$\\
et alors bien sûr, comme $\sqrt[n]{\vert \pi_n(x)\vert} < \lim_{n
\to \infty} \sqrt[n]{\vert \pi_n(x)\vert} = G(x)$ alors:
\textcolor{blue}{$$\sqrt[n]{\vert \pi_n(x)\vert} <
G(z)=G(\beta)=\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\vert
\pi_n(z)\vert}, \forall z\in\gamma$$}
{\bf POURQUOI a-t-on alors} $\exists \ 0