Fonctions Holomorphes

Averse0
Averse0
dans Analyse
Bonjour, cet exercice me paraît étrange :

On se place dans $\C$. Soit une série entière $\sum_{n\geq 0}a_{n}z^{n}$ de RC$=1$ et de somme $f$. Tout va bien. $\forall z\in \overline{D}(0,1)$ on pose $\lambda (z)=\lim sup_{n\rightarrow +\infty} (\frac{|f^{(n)}(z)|}{n!})^{1/n}$ et on note $\zeta =e^{i\theta}$ appartenant au cercle unité.

Si il existe $\omega=|\omega|e^{i\theta}$ avec $0

Réponses

  • Hachani MHamed
    Hachani MHamed
    s'il vous plais avez-vous un cours complet d'analyse complexe j'enai besoin
  • kilébo
    kilébo
    Je n'ai pas tout saisie mais la question n'est pas de savoir ce qui se passe à l'intérieur du disque mais ce qu'il se passe sur le voisinage du point $e^{i\theta{}}$ et ça change tout car :
    1. Ce point n'est pas dans le disque ouvert
    2. Et surtout, un voisinage de ce point a forcément des points en dehors du disque fermé.
  • dadi
    dadi
    Pour M'Hamed
    Voici un cours de Mme Audin :
    <http://www-irma.u-strasbg.fr/~maudin/analysecomp.pdf&gt;
  • Averse0
    Averse0
    Mais $\omega$ est bien un élément de $D(0,1)$ donc vérifie $\lambda (\omega)=1/$RC$=1$.
  • Averse0
    Averse0
    Je me suis trompé dans mon premier post : si $z\in D(0,1)$ on a $\lambda (z)=1/$RC. C'est la formule de Cauchy-Hadamard.
  • Averse0
    Averse0
    Je viens de m'apercevoir de mon erreur : en fait $a_n =\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$ et non pas $a_n =\frac{f^{(n)}(z)}{n!}$ pour $z\in D(0,1)$.

    On peut donc maintenant qualifier ces posts de rumination personelle.
  • Averse0
    Averse0
    Pour continuer à ruminer...

    Toujours considérant une série entière $\sum_{n\geq 0}a_{n}z^{n}$ de RC$=1$ et de somme $f$. Supposons que les $a_n$ sont réels positifs ou nuls à partir d'un certain rang. Pourquoi est-ce que le point $1$ est forcément singulier (ie non régulier ie qu'on ne peut pas prolonger $f$ au voisinage du point) ?

    Sachant qu'il existe au moins un point singulier sur $C(0,1)$, on nous propose de montrer que si $1$ est régulier alors les autres le sont tous.

    Je ne vois vraiment pas ce qu'apporte la condition sur les $a_n$.

    Merci d'avance. Averse
  • Averse0
    Averse0
    Dois-je fournir plus de précision peut-être ou n'ai je pas été assez clair ?

    Cordialement. Averse
  • Averse0
    Averse0
    Suis-je maudit ?
  • Averse0
    Averse0
    Est-ce que quelqu'un sait ce qu'apporte l'hypothèse $a_n \geq 0$ ?
  • Averse0
    Averse0
    Même si vous me répondez non je vous en prie, manifestez-vous !
  • Averse0
    Averse0
    Pour la première question posée c'est ok : la série de Taylor de $f$ en $\omega$ a un RC$>1-|\omega|=d(\omega,C(0,1))=|\omega -\zeta|$ donc on peut prolonger $f$ au voisinage de
  • Averse0
    Averse0
    On peut prolonger $f$ au voisinage de $\zeta$.

    Par contre pour la deuxième j'attend des propositions.
  • Saïd7
    Saïd7
    Bonjour


    si ce prolongement existe , il serait surement et formellement (sans justification, on peut supposer que $a_0=0$)

    $$ L(\phi)(z)=\int _{\R^+}\phi(\xi)e^{\frac{-\xi}{z}}d\xi$$
    où
    $$\phi(\xi)=\sum_1^{+\infty} a_n\frac {\xi^{n-1}}{(n-1)!}$$

    est la transformation de Borel de $f$ qui est une fonction entiere.
  • Averse0
    Averse0
    Bonjour said,

    Je ne vois pas qu'est ce que tu veux dire et pourquoi le prolongement serait de cette forme.
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Bonjour!

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