Il faut remarquer que:
$$\forall n\in\N , n\neq\pm\pi/2$$
ce qui vous permet de conclure directement que la limite est $-1$.
Si non, si n est un réels, alors dans ce cas la limite est indéfinie.
Je vous remercie Mr Dennissovitch
Mais pour moi le probleme rest pose
Je vous remercie encore et je tire votre attention que je suis en 2ème année
étude de l'ingéniorat en informatique
$\{ \cos n | n \in \N \}$ est dense dans $[-1,1]$ donc ça ne va pas être si facile que ça.
Il existe une suite d'entiers strictement croissante $(\phi_n)$ telle que $\cos (\phi_n) \rightarrow 0$, et je ne vois pas bien comment montrer qu'on a tout de même $e^{\phi_n} \cos (\phi_n) \rightarrow +\infty$ (si tant est que vrai !).
Tu parles de ceci Sigma : $\forall x \in \R \quad |\cos x - 1| \leq \frac{x^2}{2}$
On aurait un truc du genre
\[ 1 - \frac{x^2}{2} \leq \cos x \leq 1 + \frac{x^2}{2} \]
Là on peut très facilement se planter en pensant avoir le droit de « prendre l'inverse » de l'inégalité mais c'est bien entendu faux.
bonjour
je voudrais bien que vous m'aidez dans le calcul de la limite suivante
$\displaystyle{\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{exp(-n)-cos(n)}{cos(n)}}$
Ok Guimauve. Sous réserve que ton inégalité soit juste, on a
$$
||\cos(x)|-|1|| \leq |\cos(x)-1| \leq \frac{x^2}{2}
$$
d'où:
$$
|\cos(x)|-|1| \geq - \frac{x^2}{2} \Rightarrow |\cos(x)| \geq 1- \frac{x^2}{2}
$$
et donc mon inégalité est vraie si l'on enlève une valeur absolue...mais ne permet plus de résoudre l'exo.
Peut-être un début d'idée :
$\frac{p_n}{q_n}$ est la n-ième réduite du développement en fractions continuées de $\frac{\pi}{2}$. On a donc pour n entier :
\[ \left| \frac{p_n}{q_n} - \frac{\pi}{2} \right| < \frac{1}{q_n q_{n+1}} \]
C'est à dire :
\[ \left| p_n - q_n \frac{\pi}{2} \right| < \frac{1}{q_{n+1}} \]
Comme $\cos$ est 1-lipschitzienne, on a alors
\[ | \cos( p_n ) | < \frac{1}{q_{n+1}} \]
Ceci tend bien sûr vers 0 quand n tend vers $+\infty$.
Il faudrait pouvoir montrer (si c'est vrai) que $(p_n)$ est la suite d'entier qui croit le moins rapidement telle que $\cos p_n \rightarrow 0$, puis montrer que $e^{p_n} \cos p_n$ tend vers $\infty$.
Je ne suis absolument pas sûr de ce que j'avance, mais je n'ai pas d'autre idée pour cette limite qui est bien plus difficile qu'elle n'en a l'air.
la limite de l'expression pour n infini est - 1
on remarque que n entier naturel ne peut prendre une valeur pi/2 + k.pi
donc pas de souci pour exp(-n)/cos(n)
et on sait que 1/cosn (fonction sécante de n) tend vers 0 pour n infini (propriétés des fonctions alternées)
donc exp(-n)/cosn tend vers 0 et l'expression initiale tend bien vers - 1
$\frac{1}{\cos n}$ ne tend pas vers 0 en $+\infty$, navré de me répéter mais c'est faux.
Si c'était vrai, on aurait $|\cos n| \rightarrow +\infty$, et c'est de toute évidence faux !
Plusieurs réponses que j'ai lues ici me surprennent. Parlons nous bien de la même chose ?
Si ça peut te rassurer Guimauve, je pense aussi que l'exo n'est pas trivial, et j'avais pensé aux fractions continues/approximations rationnelles en le voyant.
Du même avis que guimauve et corentin ce n'est pas évident (comme on le croit au premier abord)! Peu etre que Francine pourrait préciser dans quel contexte elle cherche à calculer cette limite ce qui pourrait écarter ou préciser certaines idées... Mais apparemment elle a disparu de la circulation
Dans la réponse du début, il y a une vraie difficulté (Je me place dans le cas où n est entier, n réel interdisant de se placer au voisinage de l'infini car cos x s'annule tous les $\pi$). Bien sûr, cos n ne s'annule pas, mais il arrive qu'il soit proche de 0, et rien ne permet de conclure sur $e^{n}cos(n)$. En effet, $\frac {1}{cos (n)} $ n'est pas borné.
L'idée de Guimauve me semble bonne, mais je ne sait pas la traiter, moi non plus. Elle revient à dire que les valeurs de cos (n) qui se rapprochent de 0 le font "lentement" par rapport à la croissance de $e^n$.
Le problème du signe de cos(n) ne se pose pas vraiment alors, car il suffit que la valeur absolue de $e^{n}cos(n)$ tende vers l'infini pour que son inverse tende vers 0.
Peut-être une idée pour Guimauve : Plutôt qu'une minoration de $cos (p_n)$, une majoration serait utile. Mais je ne suis pas spécialiste des réduites...
Dans la réponse du début, il y a une vraie difficulté (Je me place dans le cas où n est entier, n réel interdisant de se placer au voisinage de l'infini car cos x s'annule tous les $\pi$). Bien sûr, cos n ne s'annule pas, mais il arrive qu'il soit proche de 0, et rien ne permet de conclure sur $e^{n}cos(n)$. En effet, $\frac {1}{cos (n)} $ n'est pas borné.
L'idée de Guimauve me semble bonne, mais je ne sait pas la traiter, moi non plus. Elle revient à dire que les valeurs de cos (n) qui se rapprochent de 0 le font "lentement" par rapport à la croissance de $e^n$.
Le problème du signe de cos(n) ne se pose pas vraiment alors, car il suffit que la valeur absolue de $e^{n}cos(n)$ tende vers l'infini pour que son inverse tende vers 0.
Peut-être une idée pour Guimauve : Plutôt qu'une minoration de $cos (p_n)$, une majoration serait utile. Mais je ne suis pas spécialiste des réduites...
C'est juste en voyant que : $\displaystyle \sum_{k=0}^{1000}\frac{1}{e^kcos(k)}=1,306193881$, $\displaystyle \sum_{k=0}^{10000}\frac{1}{e^kcos(k)}=1,306193881$ et : $\displaystyle \sum_{k=10001}^{20000}\frac{1}{e^kcos(k)}=-1,30246945.10^{-4343}$, $\displaystyle \sum_{k=30001}^{40000}\frac{1}{e^kcos(k)}=1,711795217.10^{-13029}$.
Alors à moins que la convergence soit vraiment très lente... je pense que ça converge. J'ai bien précisé que je n'avais aucune preuve!
Une idée, mais que je ne sais pas faire aboutir. On sait pas trop comment se comporte $1/\cos(n)$. Mais peut-être que l'on sait ce qui se passe en moyenne : $$\sum_{k=0}^n \frac{1}{\cos(k)}$$
Je ne sais pas évaluer cette somme (peut-être que Borde pourra nous aider), mais si on sait le faire on pourrait étudier la série, avec la transfo d'Abel.
ma seule piste pour la convergence de la série, si tant est, est cos(n)=Tn(cos(1)) les Tn étant les polynômes de Tchébichev (utiles pour les calculs en informatique il me semble)
La vache, petite mais costaude c'te foutue limite, ceci dit, rien ne dit que la limite existe, merci Francine pour cet énoncé simple et funcky, vous nous en direz plus?
compte tenu des remarques de Guimauve (densité de cos(n)) et Mickael (au terme 1/n près si j'ai bien compris),étude de intégrale de 0 à 2*pi de 1/cos(x) semble pertinent, mais je crois que ça diverge
Effectivement, il n'est certainement pas question d'intégrer $1/cos(t)$ vu que l'intégrale n'est pas définie.
Je crois me souvenir qu'il est question assez précisément d'approximations rationnelles dans le bouquin de Duverney "théorie des nombres".
Si il y a des gens qui ne sont pas loin d'une bu...
Si on pose $$f_n(x)=\cos(n)\,\frac{ e^{-nx}}{n} $$ le seul problème est de montrer la convergence uniforme de la série $\sum_{n\geq 0} f_n$ sur $\R_+$. Pour cela, on peut appliquer le critère d'Abel (cf. Ramis 4 p.78). Comme :
- $\sum_{k=0}^n \cos(k)$ est bornée (en $n$) ;
- la suite de fonctions $\frac{e^{-nx}}{n}$ converge uniformément sur $\R_+$ vers l'application nulle ;
- pour tout $x\in \R_+$, la suite $\frac{e^{-nx}}{n}$ est décroissante ;
alors la conclusion suit...
Pour la série de fonctions, on peut donc s'en sortir sans l'étude de la suite qui fait l'objet de ce post, mais j'aimerais quand même en avoir le coeur net. Personne pour poursuivre mon idée ?
Merci Michal mais ça ne repond pas au pb. J'ai posée ce pb à un cousun chercheur et il va certainement me répondre.
Merci
Aimablement
Je vous rapellerai
Le problème de Francine est résolu mais nous ne sommes toujours pas capables de calculer cette limite. C'est embêtant un problème d'apparence aussi simple qui se révèle aussi compliqué.
Va-t-on le laisser couler ?
l'exercice se ramène en fait à trouver la limite de cos(x)*exp(x) en plus l'infini. or tout bètement cette limite n'existe pas car cos(x) s'annule et e(x) peut etre aussi grand que l'on veut le produit quant à lui s'annule.donc cette limite n'existe tout bonnement pas.(enfin, je pense...)
dire que cos(x)exp(x) tende vers l'infini en plus l'infini se traduit par
pout tout A>0 on peut trouver un B>0 tq x>B => abs(cos(x)exp(x))>A
or ceci est exclu car il existe des x>B pour qui cos(x) s'annule donc ce B n'existe pas et par conséquent la limite ne saurait exister.
Les bêtises sont partout. Relis le post : au début, au milieu et à la fin. Et l'erreur est de considérer que dans $\cos n$, $n$ est réel, ce qui simplifie évidemment l'étude.
Je pense que ce problème a été posé par un grand matématicien allemand dont j'ai oublié le nom.
Si je me souviens bien la limite était 1 mais
cos(n) - expn(-n)/cos(-n)
Réponses
je voudrai bien que vous m'aidez dans le calcul de la limite suivante
$\bf lim \frac{exp(-n)-cos(n)}{cos(n)}$
quand $n\longrightarrow$$\infty$
lim $\frac{1}{e^n cos(n)} - 1$
tu étudies alors la limite de $\frac{1}{e^n cos(n)}$ ce qui est assez facile quand n $\longrightarrow$$\infty$
Il faut remarquer que:
$$\forall n\in\N , n\neq\pm\pi/2$$
ce qui vous permet de conclure directement que la limite est $-1$.
Si non, si n est un réels, alors dans ce cas la limite est indéfinie.
Cordialement
med
Mais pour moi le probleme rest pose
Je vous remercie encore et je tire votre attention que je suis en 2ème année
étude de l'ingéniorat en informatique
soit cos(n) est inférieur à 0, et alors $e^n cos(n) \longrightarrow - \infty$
et donc $\frac{1}{e^n cos(n)}$ tend vers 0
Regarde l'autre cas, si cos(n) est supérieur à 0
soit cos(n) est inférieur à 0, et alors $e^n cos(n) \longrightarrow - \infty$
et donc $\frac{1}{e^n cos(n)}$ tend vers 0
Regarde l'autre cas, si cos(n) est supérieur à 0 on obtient le même résultat final
(à savoir que la limite vaut -1)
Il existe une suite d'entiers strictement croissante $(\phi_n)$ telle que $\cos (\phi_n) \rightarrow 0$, et je ne vois pas bien comment montrer qu'on a tout de même $e^{\phi_n} \cos (\phi_n) \rightarrow +\infty$ (si tant est que vrai !).
1 - cos x $\sim$ $\frac{x^2}/{2}$
(je ne sais pas je ne m'y connais pas trop)
On aurait un truc du genre
\[ 1 - \frac{x^2}{2} \leq \cos x \leq 1 + \frac{x^2}{2} \]
Là on peut très facilement se planter en pensant avoir le droit de « prendre l'inverse » de l'inégalité mais c'est bien entendu faux.
Méfiance donc.
je voudrais bien que vous m'aidez dans le calcul de la limite suivante
$\displaystyle{\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{exp(-n)-cos(n)}{cos(n)}}$
$$
||\cos(x)|-|1|| \leq |\cos(x)-1| \leq \frac{x^2}{2}
$$
d'où:
$$
|\cos(x)|-|1| \geq - \frac{x^2}{2} \Rightarrow |\cos(x)| \geq 1- \frac{x^2}{2}
$$
et donc mon inégalité est vraie si l'on enlève une valeur absolue...mais ne permet plus de résoudre l'exo.
$e^n.\cos(n)=Re(e^n.e^{in})$ où $Re(z)$ désigne la partie réelle de $z$.
On a exp(-n) - 1 < exp(-n) - cos(n) < exp(-n) + 1
donc, en étudiant les deux cas ou cos(n)>0 et cos(n)<0 on obtient en divisant par cos(n):
(exp(-n) - 1)/cos(n) < abs( (exp(-n) - cos(n))/cos(n) )< ( exp(-n) + 1 ) / cos(n)
De cahque coté, ca tend vers 0 donc, d apres les gendarmes on conclut ...
Remarque : dans l expression de départ, cos(n) est toujours différent de 0 car n est entier .... donc pas de souci ...
Philou le cocker
$\frac{p_n}{q_n}$ est la n-ième réduite du développement en fractions continuées de $\frac{\pi}{2}$. On a donc pour n entier :
\[ \left| \frac{p_n}{q_n} - \frac{\pi}{2} \right| < \frac{1}{q_n q_{n+1}} \]
C'est à dire :
\[ \left| p_n - q_n \frac{\pi}{2} \right| < \frac{1}{q_{n+1}} \]
Comme $\cos$ est 1-lipschitzienne, on a alors
\[ | \cos( p_n ) | < \frac{1}{q_{n+1}} \]
Ceci tend bien sûr vers 0 quand n tend vers $+\infty$.
Il faudrait pouvoir montrer (si c'est vrai) que $(p_n)$ est la suite d'entier qui croit le moins rapidement telle que $\cos p_n \rightarrow 0$, puis montrer que $e^{p_n} \cos p_n$ tend vers $\infty$.
Je ne suis absolument pas sûr de ce que j'avance, mais je n'ai pas d'autre idée pour cette limite qui est bien plus difficile qu'elle n'en a l'air.
la limite de l'expression pour n infini est - 1
on remarque que n entier naturel ne peut prendre une valeur pi/2 + k.pi
donc pas de souci pour exp(-n)/cos(n)
et on sait que 1/cosn (fonction sécante de n) tend vers 0 pour n infini (propriétés des fonctions alternées)
donc exp(-n)/cosn tend vers 0 et l'expression initiale tend bien vers - 1
cordialement
Si c'était vrai, on aurait $|\cos n| \rightarrow +\infty$, et c'est de toute évidence faux !
Plusieurs réponses que j'ai lues ici me surprennent. Parlons nous bien de la même chose ?
L'idée de Guimauve me semble bonne, mais je ne sait pas la traiter, moi non plus. Elle revient à dire que les valeurs de cos (n) qui se rapprochent de 0 le font "lentement" par rapport à la croissance de $e^n$.
Le problème du signe de cos(n) ne se pose pas vraiment alors, car il suffit que la valeur absolue de $e^{n}cos(n)$ tende vers l'infini pour que son inverse tende vers 0.
Peut-être une idée pour Guimauve : Plutôt qu'une minoration de $cos (p_n)$, une majoration serait utile. Mais je ne suis pas spécialiste des réduites...
Cordialement
L'idée de Guimauve me semble bonne, mais je ne sait pas la traiter, moi non plus. Elle revient à dire que les valeurs de cos (n) qui se rapprochent de 0 le font "lentement" par rapport à la croissance de $e^n$.
Le problème du signe de cos(n) ne se pose pas vraiment alors, car il suffit que la valeur absolue de $e^{n}cos(n)$ tende vers l'infini pour que son inverse tende vers 0.
Peut-être une idée pour Guimauve : Plutôt qu'une minoration de $cos (p_n)$, une majoration serait utile. Mais je ne suis pas spécialiste des réduites...
Cordialement
Alors à moins que la convergence soit vraiment très lente... je pense que ça converge. J'ai bien précisé que je n'avais aucune preuve!
Je ne sais pas évaluer cette somme (peut-être que Borde pourra nous aider), mais si on sait le faire on pourrait étudier la série, avec la transfo d'Abel.
ma seule piste pour la convergence de la série, si tant est, est cos(n)=Tn(cos(1)) les Tn étant les polynômes de Tchébichev (utiles pour les calculs en informatique il me semble)
aimablement
S
aimablement
S
aimablement
S
Je crois me souvenir qu'il est question assez précisément d'approximations rationnelles dans le bouquin de Duverney "théorie des nombres".
Si il y a des gens qui ne sont pas loin d'une bu...
Comment démontrer la convergence uniforme dans R+ de la série associée à la suite :
Désolé
- $\sum_{k=0}^n \cos(k)$ est bornée (en $n$) ;
- la suite de fonctions $\frac{e^{-nx}}{n}$ converge uniformément sur $\R_+$ vers l'application nulle ;
- pour tout $x\in \R_+$, la suite $\frac{e^{-nx}}{n}$ est décroissante ;
alors la conclusion suit...
Pour la série de fonctions, on peut donc s'en sortir sans l'étude de la suite qui fait l'objet de ce post, mais j'aimerais quand même en avoir le coeur net. Personne pour poursuivre mon idée ?
Michal.
au plaisir
Merci
Aimablement
Je vous rapellerai
Je ne comprends pas pourquoi tu dis que ça ne répond pas au problème...
Va-t-on le laisser couler ?
pout tout A>0 on peut trouver un B>0 tq x>B => abs(cos(x)exp(x))>A
or ceci est exclu car il existe des x>B pour qui cos(x) s'annule donc ce B n'existe pas et par conséquent la limite ne saurait exister.
Si je me souviens bien la limite était 1 mais
cos(n) - expn(-n)/cos(-n)