euh oui, j'ai du mal l'écrire ,ce sont les espaces S(R^d), je révise les distributions pour un examen. tu as des pistes? j'en profite pour te remercier pour hier.
PS: si tu as docs ou autre, sache que je suis preneur
Oui, Schwarz c'est Cauchy-Schwarz alors que Schwartz c'est les distributions. Mais bon ça m'étonnerait qu'on t'enlève des points pour ça.
Là tout de suite ce qui me vient à l'esprit c'est le premier pdf, bases d'analyse appliquée, de cette page \lien{http://www.ann.jussieu.fr/~ledret/M2Elliptique.html}, plein de rappels très bien faits en espaces $L^p$, distributions, Fourier et Sobolev. Les espaces $S$ et $S'$ sont évoqués dans le chapître sur la transformée de Fourier.
Et le cours (en anglais) d'analyse microlocale que tu trouveras à cette page \lien{http://www-math.mit.edu/~rbm/18.157-S03.html} ; tout est intéressant mais relativement difficile, cela dit le premier chapître (justement sur les espaces de Schwartz et les distributions tempérées) est abordable et assez complet.
N'oublies pas que tu peux aussi poser tes questions sur le forum ! Bon courage.
egoroff, je tai envoyé un pt mail sur ta boite hotmail, si tu as 5 min...j'appellerai mon premier fils Egoroff si tu m'aides, avec un nom pareil si il finit pas à normal...
Manque de pot Conchita, l'adresse e-mail qui était enregistrée il y a quelques minutes était fausse, je n'avais jamais pris le temps de la corriger... C'est désormais chose faite. Peux-tu me renvoyer ton mail ? Je serai ravi de parrainer un petit Dimitri Fédorovitch Junior...
Pour la question 3, comme tu as déjà montré la densité de $S$ dans $E_p$, il est clair (?) que $S^2$ est dense dans $E_p \times E_{p'}$. Il ne reste donc qu'à montrer la continuité de $B \, : \, S \times S \to \C$, autrement dit trouver $C$ tel que $|B(u,v)| \leq C \lVert u \rVert_{E_{p'}} \, \lVert v \rVert_{E_{p}}$. Pour cela on va utiliser deux propriétés de la tranformée de Fourier : $\int f \widetilde{g} = \int \widetilde{f} g$ et la formule d'inversion, toutes les deux valables dans $S$. Cela nous permet d'écrire $\int uv = \int \mathcal{F}^{-1}(u) \mathcal{F}(v)$ et il ne reste qu'à appliquer l'inégalité de Hölder à la dernière intégrale, qui est l'intégrale d'un produit d'une fonction de $L^{p'}$ et d'une fonction de $L^{p}$.
Pour la 4 je te conseille de potasser la section 3.2 page 59 du poly de Le Dret, le premier que je t'ai mis en hyperlien plus haut dans ce sujet. Pour vérifier que $B$ identifie $E_p'$ à $E_{p'}$ il va falloir vérifier que pour toute forme linéaire continue $\ell \in E_p'$ il existe un et seul $y \in E_{p'}$ tel que $\forall x \in E_p, \, < \ell , x > = B(y,x)$ et qu'il existe une constante $C$ telle que pour tout $\ell$ on ait $C^{-1} ||y|| \leq || \ell || \leq C ||y||$.
Pour la 5 je ne sais pas encore et je dois y aller mais je reviendrai vite.
De rien.. cela dit je ne suis pas non plus un méga pro, j'espère que je ne raconte pas que des c*nneries !
Est-ce que le gentil modérateur qui a eu la présence d'esprit de changer le titre du sujet pourrait aussi corriger le premier lien donné dans mon post de 9h53 ? Il doit manquer un ~ avant ledret.
[Damned, je n'avais pas vu C'est maintenant corrigé. AD]
Ben en gros l'esprit du problème est de se ramener via la transformée de Fourier à $L^p$ où on sait des choses, pour pouvoir dire des choses sur $E_p$. Si tu fais ça systématiquement pas de problème.
C'est la même démarche pour l'espace de Sobolev $H^s$ qui l'image réciproque par la transformée de Fourier de $L^2((1+|\xi|^2)^s d \xi)$. Donc $H^s$ ressemble à tes $E_p$ sauf qu'on se limite à $p=2$ et qu'en revanche la mesure sur "l'espace des fréquences" est pondérée par le $(1+|\xi|^2)^s$. Voir le chapître 8 du poly de Le Dret où, comme dans ton problème, il trouve plein de propriétés (notamment il identifie de deux manières différentes le dual de $H^s$) des espaces de Sobolev en se ramenant à $L^2$ via la transformée de Fourier et ses propriétés.
Une "dernière" question, pour montrer que Ep est un Banach, je voudrais faire une démonstration élégante en trouvant une bijection entre Ep et L^p (qui est complet) pour pouvoir conclure. As-tu une idée ?
J'ai une petite question concernant l'espace de Schwartz et les distributions. Cela va peut-être vous paraître bête ou trivial mais j'aimerais pouvoir m'éclaircir les idées.
On se place dans $\R$ par exemple et on considère l'ensembles des fonctions $C^{\infty}$ à support compact sur $\R$, on le note $D(\R)$.
On note $S(\R)$ l'espace de Schwartz.
On a clairement que $D(\R)\subset S(\R)$, je me doute que ces espaces ne coïncident pas et j'aimerais trouver une fonction de $S$ qui ne soit pas dans $D$.
Tout naturellement, je pense à $e^{-\vert x \vert}$, qui est dans $S$ mais qui ne s'annule jamais donc est de support l'adhérence de $\R$ qui est n'autre que $\R$ qui n'est pas compact.
Cela me semble relativement clair mais en demandant à un prof de TD d'analyse, il m'a dit que les fonctions de ce type sont à support compact (en me dessinant le graphe et me disant qu'à partir d'un moment c'était nul), ce qui m'a surpris mais je n'ai pas eu le temps de discuter plus longtemps avec lui.
Dites-moi que j'ai raison svp ou alors je n'ai rien compris à quoi que ce soit.
Cordialement
Je pense que tu n'as pas compris ce qu'il t'a dit. La fonction $x\mapsto e^{-|x|}$ n'est pas dans $\cal S$ car elle n'est pas $C^\infty$. Si tu veux un élément de $\cal S$ qui n'est pas à support compact, pense à la gaussienne $x\mapsto e^{-x^2}$.
Visiblement, la non dérivabilité à l'origine qui a gêné le prof de Mk1844 ; le problème concerne le comportement à l'infini.
Mk1844,
La fonction $e^{-x^2}$ est à support compact parce qu'à l'infini, elle est nulle au sens de Jean (envers lequel je m'excuse bien humblement de la boutade).
Ok merci remarque et gb.
gb je n'ai pas compris, qui est Jean? un physicien? ça leur suffit largement de savoir qu'au delà de 5 en gros, $e^{-x^2}$ est presque quasi-nulle.
Si j'ai bien compris, $e^{-x^2}$ n'est pas dans $D$ stricto sensu.
Merci encore.
Oui, $e^{-x^2}$ n'est pas dans $\cal D$. Une fonction de $\cal D$ est identiquement nulle en dehors d'un intervalle, alors qu'une exponentielle est toujours strictement positive. Je laisse gb s'expliquer tout seul sur sa boutade.
Réponses
PS: si tu as docs ou autre, sache que je suis preneur
merci
Là tout de suite ce qui me vient à l'esprit c'est le premier pdf, bases d'analyse appliquée, de cette page \lien{http://www.ann.jussieu.fr/~ledret/M2Elliptique.html}, plein de rappels très bien faits en espaces $L^p$, distributions, Fourier et Sobolev. Les espaces $S$ et $S'$ sont évoqués dans le chapître sur la transformée de Fourier.
Et le cours (en anglais) d'analyse microlocale que tu trouveras à cette page \lien{http://www-math.mit.edu/~rbm/18.157-S03.html} ; tout est intéressant mais relativement difficile, cela dit le premier chapître (justement sur les espaces de Schwartz et les distributions tempérées) est abordable et assez complet.
N'oublies pas que tu peux aussi poser tes questions sur le forum ! Bon courage.
A plus Egoroff !!
Pour la 4 je te conseille de potasser la section 3.2 page 59 du poly de Le Dret, le premier que je t'ai mis en hyperlien plus haut dans ce sujet. Pour vérifier que $B$ identifie $E_p'$ à $E_{p'}$ il va falloir vérifier que pour toute forme linéaire continue $\ell \in E_p'$ il existe un et seul $y \in E_{p'}$ tel que $\forall x \in E_p, \, < \ell , x > = B(y,x)$ et qu'il existe une constante $C$ telle que pour tout $\ell$ on ait $C^{-1} ||y|| \leq || \ell || \leq C ||y||$.
Pour la 5 je ne sais pas encore et je dois y aller mais je reviendrai vite.
Est-ce que le gentil modérateur qui a eu la présence d'esprit de changer le titre du sujet pourrait aussi corriger le premier lien donné dans mon post de 9h53 ? Il doit manquer un ~ avant ledret.
[Damned, je n'avais pas vu C'est maintenant corrigé. AD]
merci
signé le boulet
Ben en gros l'esprit du problème est de se ramener via la transformée de Fourier à $L^p$ où on sait des choses, pour pouvoir dire des choses sur $E_p$. Si tu fais ça systématiquement pas de problème.
C'est la même démarche pour l'espace de Sobolev $H^s$ qui l'image réciproque par la transformée de Fourier de $L^2((1+|\xi|^2)^s d \xi)$. Donc $H^s$ ressemble à tes $E_p$ sauf qu'on se limite à $p=2$ et qu'en revanche la mesure sur "l'espace des fréquences" est pondérée par le $(1+|\xi|^2)^s$. Voir le chapître 8 du poly de Le Dret où, comme dans ton problème, il trouve plein de propriétés (notamment il identifie de deux manières différentes le dual de $H^s$) des espaces de Sobolev en se ramenant à $L^2$ via la transformée de Fourier et ses propriétés.
Merci
en tout cas merci
a plus
J'ai une petite question concernant l'espace de Schwartz et les distributions. Cela va peut-être vous paraître bête ou trivial mais j'aimerais pouvoir m'éclaircir les idées.
On se place dans $\R$ par exemple et on considère l'ensembles des fonctions $C^{\infty}$ à support compact sur $\R$, on le note $D(\R)$.
On note $S(\R)$ l'espace de Schwartz.
On a clairement que $D(\R)\subset S(\R)$, je me doute que ces espaces ne coïncident pas et j'aimerais trouver une fonction de $S$ qui ne soit pas dans $D$.
Tout naturellement, je pense à $e^{-\vert x \vert}$, qui est dans $S$ mais qui ne s'annule jamais donc est de support l'adhérence de $\R$ qui est n'autre que $\R$ qui n'est pas compact.
Cela me semble relativement clair mais en demandant à un prof de TD d'analyse, il m'a dit que les fonctions de ce type sont à support compact (en me dessinant le graphe et me disant qu'à partir d'un moment c'était nul), ce qui m'a surpris mais je n'ai pas eu le temps de discuter plus longtemps avec lui.
Dites-moi que j'ai raison svp ou alors je n'ai rien compris à quoi que ce soit.
Cordialement
Visiblement, la non dérivabilité à l'origine qui a gêné le prof de Mk1844 ; le problème concerne le comportement à l'infini.
Mk1844,
La fonction $e^{-x^2}$ est à support compact parce qu'à l'infini, elle est nulle au sens de Jean (envers lequel je m'excuse bien humblement de la boutade).
gb je n'ai pas compris, qui est Jean? un physicien? ça leur suffit largement de savoir qu'au delà de 5 en gros, $e^{-x^2}$ est presque quasi-nulle.
Si j'ai bien compris, $e^{-x^2}$ n'est pas dans $D$ stricto sensu.
Merci encore.
Cordialement
Tu peux faire connaissnce de Jean par le message suivant http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,407797,407817#msg-407817
Cordialement