Intégrale avec sinus

etanche · November 2021

Bonjour

Montrer que

$$\int_{0}^{+\infty} ( 1 - x^2\sin^2 (\frac{1}{x}) )^2 dx = \frac{\pi}{5}$$

Merci

jandri · November 2021

C'est une pure coïncidence !

En posant $x=\dfrac1t$ et en développant le carré on obtient que l'intégrale est égale à $2K_2-K_4$ où $K_n$ est l'intégrale définie ici (à la fin du message).

jandri · November 2021

On peut généraliser à $n$ et $m$ entiers naturels non nuls :
$$\int_{0}^{+\infty} \left( 1 - x^n\sin^n \left(\frac{1}{x}\right)\right )^m dx = \sum_{k=1}^m (-1)^{k-1}{m\choose k}K_{nk}\in\pi\Q$$

etanche · November 2021

Juste pour voir si on reçoit mon post.

Intégrale avec sinus

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Bonjour!

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