En posant $x=\dfrac1t$ et en développant le carré on obtient que l'intégrale est égale à $2K_2-K_4$ où $K_n$ est l'intégrale définie ici (à la fin du message).
On peut généraliser à $n$ et $m$ entiers naturels non nuls :
$$\int_{0}^{+\infty} \left( 1 - x^n\sin^n \left(\frac{1}{x}\right)\right )^m dx = \sum_{k=1}^m (-1)^{k-1}{m\choose k}K_{nk}\in\pi\Q$$
Réponses
En posant $x=\dfrac1t$ et en développant le carré on obtient que l'intégrale est égale à $2K_2-K_4$ où $K_n$ est l'intégrale définie ici (à la fin du message).
$$\int_{0}^{+\infty} \left( 1 - x^n\sin^n \left(\frac{1}{x}\right)\right )^m dx = \sum_{k=1}^m (-1)^{k-1}{m\choose k}K_{nk}\in\pi\Q$$
Juste pour voir si on reçoit mon post.