Minimum d'une fonction
Bonjour,
Un exercice que je trouve costaud pour des terminales.
Soit $\lambda >0$.
a) $| \displaystyle\int_{a}^b ( \lambda f(t) ) (\dfrac{1}{\lambda} g(t) ) dt | \leq \displaystyle\int_{a}^b | ( \lambda f(t) | \times | (\dfrac{1}{\lambda} g(t) | dt$
D'après l'inégalité de Young, on a $\forall t \in [a,b] \ | ( \lambda f(t) | \times | (\dfrac{1}{\lambda} g(t) | \leq \dfrac{1}{p} \lambda ^p |f(t)|^p +\dfrac{1}{q} \dfrac{1}{\lambda ^q} |g(t)|^q$
D'où $\boxed{| \displaystyle\int_{a}^b ( \lambda f(t) ) (\dfrac{1}{\lambda} g(t) ) dt | \leq \dfrac{1}{p} \lambda ^p \displaystyle\int_{a}^b |f(t)|^p dt + \dfrac{1}{q} \dfrac{1}{\lambda ^q} \displaystyle\int_{a}^b ( |g(t)|^q} dt$
b) Cette question me semble difficile.
On a $\psi '(\lambda)= \lambda^{p-1} \displaystyle\int_{a}^b |f(t)|^p dt - \lambda^{-q-1} \displaystyle\int_{a}^b |g(t)|^q dt $
$\psi '(\lambda) \geq 0 \Leftrightarrow \lambda^{p-1} \displaystyle\int_{a}^b |f(t)|^p dt \geq \lambda^{-q-1} \displaystyle\int_{a}^b |g(t)|^q dt \\
\Leftrightarrow \lambda^{p+q} \geq \dfrac{\displaystyle\int_{a}^b |g(t)|^q dt}{ \displaystyle\int_{a}^b |f(t)|^p dt} \\
\Leftrightarrow \lambda \geq \left( \dfrac{\displaystyle\int_{a}^b |g(t)|^q dt}{ \displaystyle\int_{a}^b |f(t)|^p dt} \right)^{1 / (p+q)}$
Posons $\lambda_{min} = \left( \dfrac{\displaystyle\int_{a}^b |g(t)|^q dt}{ \displaystyle\int_{a}^b |f(t)|^p dt} \right)^{1 / (p+q)}$
Calculons $\psi(\lambda_{\min} )=$
Ca m'a l'air trop compliqué :-(
Un exercice que je trouve costaud pour des terminales.
Soit $\lambda >0$.
a) $| \displaystyle\int_{a}^b ( \lambda f(t) ) (\dfrac{1}{\lambda} g(t) ) dt | \leq \displaystyle\int_{a}^b | ( \lambda f(t) | \times | (\dfrac{1}{\lambda} g(t) | dt$
D'après l'inégalité de Young, on a $\forall t \in [a,b] \ | ( \lambda f(t) | \times | (\dfrac{1}{\lambda} g(t) | \leq \dfrac{1}{p} \lambda ^p |f(t)|^p +\dfrac{1}{q} \dfrac{1}{\lambda ^q} |g(t)|^q$
D'où $\boxed{| \displaystyle\int_{a}^b ( \lambda f(t) ) (\dfrac{1}{\lambda} g(t) ) dt | \leq \dfrac{1}{p} \lambda ^p \displaystyle\int_{a}^b |f(t)|^p dt + \dfrac{1}{q} \dfrac{1}{\lambda ^q} \displaystyle\int_{a}^b ( |g(t)|^q} dt$
b) Cette question me semble difficile.
On a $\psi '(\lambda)= \lambda^{p-1} \displaystyle\int_{a}^b |f(t)|^p dt - \lambda^{-q-1} \displaystyle\int_{a}^b |g(t)|^q dt $
$\psi '(\lambda) \geq 0 \Leftrightarrow \lambda^{p-1} \displaystyle\int_{a}^b |f(t)|^p dt \geq \lambda^{-q-1} \displaystyle\int_{a}^b |g(t)|^q dt \\
\Leftrightarrow \lambda^{p+q} \geq \dfrac{\displaystyle\int_{a}^b |g(t)|^q dt}{ \displaystyle\int_{a}^b |f(t)|^p dt} \\
\Leftrightarrow \lambda \geq \left( \dfrac{\displaystyle\int_{a}^b |g(t)|^q dt}{ \displaystyle\int_{a}^b |f(t)|^p dt} \right)^{1 / (p+q)}$
Posons $\lambda_{min} = \left( \dfrac{\displaystyle\int_{a}^b |g(t)|^q dt}{ \displaystyle\int_{a}^b |f(t)|^p dt} \right)^{1 / (p+q)}$
Calculons $\psi(\lambda_{\min} )=$
Ca m'a l'air trop compliqué :-(
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
"Si j'ai une expression de la forme $(\int_a^b |f(t)|^pdt)^{1/p}$ il est possible de poser A cette expression afin de pas s'emmerder avec dans les calculs" :-S
Tu dois trouver très exactement le résultat de l'énoncé si tu t'y prends bien.
Le pdf a bien pire. Ici les indications disent quoi faire et il suffit de bien mener les calculs sans trop d'idée supplémentaire. On est moins sujet à cafouillage que sur une IPP par exemple, ou un calcul de somme.
On a $\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=\dfrac{p+q}{pq}=1$
$\lambda_{\min}= \dfrac{B^{1/(pq)}}{A^{1/(pq)}} $ où $A=\int_{a}^b f^p$ et $B=\int_{a}^b g^q$
Donc $m=\psi(\lambda_{\min}) = \dfrac{1}{p} \dfrac{B^{1/q}}{A^{1/q}} A + \dfrac{1}{q} \dfrac{A^{1/p}}{B^{1/p}} B$
D'où $m= \dfrac{1}{p} B^{1/q} A^{1/p} + \dfrac{1}{q} A^{1/p} B^{1/q}$
Finalement $\boxed{m=\left( \displaystyle\int_{a}^b |f(t)|^p dt \right) ^{1/p} \left( \displaystyle\int_{a}^b |g(t)|^q dt \right)^{1/q} }$
La question a) fournit :
$| \displaystyle\int_{a}^b f(t) g(t) dt| \leq \psi(\lambda)$ pour tout $\lambda >0$
Cette inégalité est valable aussi lorsque $\psi(\lambda)$ est minimum, ce qui fournit l'inégalité souhaitée.
Si $f$ ou $g$ est nulle l'inégalité est vérifiée.
Sinon, $f$ et $g$ sont non nulles donc $|f|>0$ et donc $|f|^p >0$ et l'intégrale d'une fonction strictement positive et continue est un réel strictement positif donc non nul.
Si $f$ est non nulle alors $|f| > 0$ ? À chaque ligne d'OShine sa perle.
Si $f$ est non nulle alors $|f|$ est non nulle, or $|f|$ est positive et continue donc ...
Sinon, tu peux rajouter le symbole $\int$ devant $|f|$ dans ta phrase précédente, puisqu'en effet $f$ est continue.
Si $f$ est non nulle sur l'intervalle $I$, alors $\int_I |f| >0$.
(Ici on a bien $a<b$).
J'ai proposé un DM, pas un DS. Ça ne me paraît pas faisable dans le temps d'un DS par un élève de TS, même dans une TS d'il y a un certain temps.
Cordialement,
Rescassol
Faut pas pousser, $ln(u)$ et $\dfrac{u}{v}$, ça ne va pas très loin.
Cordialement,
Rescassol