Minimum d'une fonction
Bonjour,
Un exercice que je trouve costaud pour des terminales.
Soit $\lambda >0$.
a) $| \displaystyle\int_{a}^b ( \lambda f(t) ) (\dfrac{1}{\lambda} g(t) ) dt | \leq \displaystyle\int_{a}^b | ( \lambda f(t) | \times | (\dfrac{1}{\lambda} g(t) | dt$
D'après l'inégalité de Young, on a $\forall t \in [a,b] \ | ( \lambda f(t) | \times | (\dfrac{1}{\lambda} g(t) | \leq \dfrac{1}{p} \lambda ^p |f(t)|^p +\dfrac{1}{q} \dfrac{1}{\lambda ^q} |g(t)|^q$
D'où $\boxed{| \displaystyle\int_{a}^b ( \lambda f(t) ) (\dfrac{1}{\lambda} g(t) ) dt | \leq \dfrac{1}{p} \lambda ^p \displaystyle\int_{a}^b |f(t)|^p dt + \dfrac{1}{q} \dfrac{1}{\lambda ^q} \displaystyle\int_{a}^b ( |g(t)|^q} dt$
b) Cette question me semble difficile.
On a $\psi '(\lambda)= \lambda^{p-1} \displaystyle\int_{a}^b |f(t)|^p dt - \lambda^{-q-1} \displaystyle\int_{a}^b |g(t)|^q dt $
$\psi '(\lambda) \geq 0 \Leftrightarrow \lambda^{p-1} \displaystyle\int_{a}^b |f(t)|^p dt \geq \lambda^{-q-1} \displaystyle\int_{a}^b |g(t)|^q dt \\
\Leftrightarrow \lambda^{p+q} \geq \dfrac{\displaystyle\int_{a}^b |g(t)|^q dt}{ \displaystyle\int_{a}^b |f(t)|^p dt} \\
\Leftrightarrow \lambda \geq \left( \dfrac{\displaystyle\int_{a}^b |g(t)|^q dt}{ \displaystyle\int_{a}^b |f(t)|^p dt} \right)^{1 / (p+q)}$
Posons $\lambda_{min} = \left( \dfrac{\displaystyle\int_{a}^b |g(t)|^q dt}{ \displaystyle\int_{a}^b |f(t)|^p dt} \right)^{1 / (p+q)}$
Calculons $\psi(\lambda_{\min} )=$
Ca m'a l'air trop compliqué :-(
Un exercice que je trouve costaud pour des terminales.
Soit $\lambda >0$.
a) $| \displaystyle\int_{a}^b ( \lambda f(t) ) (\dfrac{1}{\lambda} g(t) ) dt | \leq \displaystyle\int_{a}^b | ( \lambda f(t) | \times | (\dfrac{1}{\lambda} g(t) | dt$
D'après l'inégalité de Young, on a $\forall t \in [a,b] \ | ( \lambda f(t) | \times | (\dfrac{1}{\lambda} g(t) | \leq \dfrac{1}{p} \lambda ^p |f(t)|^p +\dfrac{1}{q} \dfrac{1}{\lambda ^q} |g(t)|^q$
D'où $\boxed{| \displaystyle\int_{a}^b ( \lambda f(t) ) (\dfrac{1}{\lambda} g(t) ) dt | \leq \dfrac{1}{p} \lambda ^p \displaystyle\int_{a}^b |f(t)|^p dt + \dfrac{1}{q} \dfrac{1}{\lambda ^q} \displaystyle\int_{a}^b ( |g(t)|^q} dt$
b) Cette question me semble difficile.
On a $\psi '(\lambda)= \lambda^{p-1} \displaystyle\int_{a}^b |f(t)|^p dt - \lambda^{-q-1} \displaystyle\int_{a}^b |g(t)|^q dt $
$\psi '(\lambda) \geq 0 \Leftrightarrow \lambda^{p-1} \displaystyle\int_{a}^b |f(t)|^p dt \geq \lambda^{-q-1} \displaystyle\int_{a}^b |g(t)|^q dt \\
\Leftrightarrow \lambda^{p+q} \geq \dfrac{\displaystyle\int_{a}^b |g(t)|^q dt}{ \displaystyle\int_{a}^b |f(t)|^p dt} \\
\Leftrightarrow \lambda \geq \left( \dfrac{\displaystyle\int_{a}^b |g(t)|^q dt}{ \displaystyle\int_{a}^b |f(t)|^p dt} \right)^{1 / (p+q)}$
Posons $\lambda_{min} = \left( \dfrac{\displaystyle\int_{a}^b |g(t)|^q dt}{ \displaystyle\int_{a}^b |f(t)|^p dt} \right)^{1 / (p+q)}$
Calculons $\psi(\lambda_{\min} )=$
Ca m'a l'air trop compliqué :-(
Réponses
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Hello ! Est-ce que tu connais le théorème de maths qui dit
"Si j'ai une expression de la forme $(\int_a^b |f(t)|^pdt)^{1/p}$ il est possible de poser A cette expression afin de pas s'emmerder avec dans les calculs" :-S -
N'oublie pas que 1/p + 1/q = 1.
Tu dois trouver très exactement le résultat de l'énoncé si tu t'y prends bien. -
Pour des terminales qui se destinent à une prépa qu'ils comptent majorer pas forcément.
Le pdf a bien pire. Ici les indications disent quoi faire et il suffit de bien mener les calculs sans trop d'idée supplémentaire. On est moins sujet à cafouillage que sur une IPP par exemple, ou un calcul de somme. -
Ok merci.
On a $\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=\dfrac{p+q}{pq}=1$
$\lambda_{\min}= \dfrac{B^{1/(pq)}}{A^{1/(pq)}} $ où $A=\int_{a}^b f^p$ et $B=\int_{a}^b g^q$
Donc $m=\psi(\lambda_{\min}) = \dfrac{1}{p} \dfrac{B^{1/q}}{A^{1/q}} A + \dfrac{1}{q} \dfrac{A^{1/p}}{B^{1/p}} B$
D'où $m= \dfrac{1}{p} B^{1/q} A^{1/p} + \dfrac{1}{q} A^{1/p} B^{1/q}$
Finalement $\boxed{m=\left( \displaystyle\int_{a}^b |f(t)|^p dt \right) ^{1/p} \left( \displaystyle\int_{a}^b |g(t)|^q dt \right)^{1/q} }$
La question a) fournit :
$| \displaystyle\int_{a}^b f(t) g(t) dt| \leq \psi(\lambda)$ pour tout $\lambda >0$
Cette inégalité est valable aussi lorsque $\psi(\lambda)$ est minimum, ce qui fournit l'inégalité souhaitée. -
Peux-tu justifier le passage de la division par $A$ ? Je ne permettrais pas à un élève de Terminale de ne pas justifier cette étape.
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J'y ai pensé à cette division par zéro.
Si $f$ ou $g$ est nulle l'inégalité est vérifiée.
Sinon, $f$ et $g$ sont non nulles donc $|f|>0$ et donc $|f|^p >0$ et l'intégrale d'une fonction strictement positive et continue est un réel strictement positif donc non nul. -
(tu)
-
(td)
Si $f$ est non nulle alors $|f| > 0$ ? À chaque ligne d'OShine sa perle. -
Par moment on finir par ne plus les voir!
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Oui imprécision ! Ca marche pour les nombres mais pas pour les fonctions.
Si $f$ est non nulle alors $|f|$ est non nulle, or $|f|$ est positive et continue donc ... -
Oui, j'ai lu rapidement.
Sinon, tu peux rajouter le symbole $\int$ devant $|f|$ dans ta phrase précédente, puisqu'en effet $f$ est continue.
Si $f$ est non nulle sur l'intervalle $I$, alors $\int_I |f| >0$.
(Ici on a bien $a<b$). -
Mais ce n'est pas impardonnable en Terminale :-). Du coup, tu peux continuer à traiter des exercices de ce type (ou le DS proposé par Rescassol) plutôt que de t'attaquer aux X/ENS. Tu seras plus crédible à mon avis.
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Non mais X-ENS c'est trop dur pour moi. Déjà Centrale Mines c'est très élevé pour moi. A Mines je n'arrive que les 4-5 premières questions après c'est vite du chinois.
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D'accord merci, je calcule en combien de temps je le fais.
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Je ne pense pas qu'un élève de TS actuel (sauf exception) arrive à calculer la dérivée de la première question de la partie B sans faire d'erreurs.
-
Bonjour,
Faut pas pousser, $ln(u)$ et $\dfrac{u}{v}$, ça ne va pas très loin.
Cordialement,
Rescassol
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Bonjour!
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