Soit $$A=\big\{\sin\Big(\frac{2\pi n}{7}\Big)\mid n\in \N\big\}.
$$ Comment peut-on trouver la borne sup et inf en utilisant la caractérisation de la borne sup, inf ? Max, min ?
Peut-on dire $$\Big|\sin\Big(\frac{2\pi n}{7}\Big)\Big|<1.$$
$$|\sin(\frac{2\pi n}{7})|<1$$ Nous donne : $1$ est un majorant de $A$
$0 \in A$ (pour $n=0$).
Donc les bornes supérieure et inférieure de l'ensemble $A$ existent.
La question que je me pose est-ce que 1 est le plus petit des majorant ? C'est ici que je bloque
Cordialement.
Bonsoir,
On peut même dire que le maximum est atteint en considérant une fonction associée (qui est continue) et de remarquer qu'elle est périodique donc on se ramène à un intervalle puis on utilise le théorème des bornes atteintes (bon j'avoue qu'on peut certainement faire simple)
On peut utiliser la caractérisation par les suites (si j'en abuse pas)
Edit: je pensais qu'on naviguait dans $\mathbb{R}$ :-D, comme RLC l'a dit, on peut regarder déjà des valeurs de n qui fournissent des infos
Une piste, on sait que pour tout $x \in \mathbb{R},\ \sin(x)$ est inclus dans $[-1,1]$ donc $A$ est inclus dans $[-1,1]$, ce qui permet déjà de prouver l'existence de la borne supérieure et inférieure de $A$ sachant que $A$ est non vide. Et je reviens sur ce que je disais plus haut : il n'est pas difficile de voir qu'on peut associer une fonction qui admet une période ce qui permettra ici de voir que l'ensemble $A$ est fini.
"on peut associer une fonction qui admet une période" c'est-à-dire la période de $\sin\big(\frac{2\pi n}{7}\big)$ ? Mais peut on écrire l'ensemble $A$ explicitement pour $n=1,\, n=2,\ldots $ ??
Réponses
Cordialement.
$0 \in A$ (pour $n=0$).
Donc les bornes supérieure et inférieure de l'ensemble $A$ existent.
La question que je me pose est-ce que 1 est le plus petit des majorant ? C'est ici que je bloque
Cordialement.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Heptagone#/media/Fichier:Heptagone_coniques(2).svg
Est-il compliqué ? Est-il gros ?
Le sinus s'encadre entre -1 et 1. Peut-on voir rapidement si l'ensemble atteint l'une ou même les deux bornes avant de faire des choses compliquées ?
On peut même dire que le maximum est atteint en considérant une fonction associée (qui est continue) et de remarquer qu'elle est périodique donc on se ramène à un intervalle puis on utilise le théorème des bornes atteintes (bon j'avoue qu'on peut certainement faire simple)
On peut utiliser la caractérisation par les suites (si j'en abuse pas)
Edit: je pensais qu'on naviguait dans $\mathbb{R}$ :-D, comme RLC l'a dit, on peut regarder déjà des valeurs de n qui fournissent des infos
On peut énumérer $A$ qui comporte $7$ éléments.
Cordialement,
zephyr.
Mais peut on écrire l'ensemble $A$ explicitement pour $n=1,\, n=2,\ldots $ ??
Regarde la fonction sans la valeur absolue, tu peux déterminer une période de celle-ci .