Série infinie pour $\zeta(2) \cdot \zeta(-1)$
Bonjour !
Quelqu’un peut-il prouver ou réfuter la conjecture suivante.
$$\large{\displaystyle\sum_{n=3}^{\infty}\frac{(-1)^{\frac{\varphi(n)}{2}}}{n^2}=\zeta(2) \cdot \zeta(-1)},$$
où $\varphi(n)$ est la fonction totient d’Euler et $\zeta(n)$ représente la fonction zêta de Riemann.
Le calcul numérique: SageMathCell.
Quelqu’un peut-il prouver ou réfuter la conjecture suivante.
$$\large{\displaystyle\sum_{n=3}^{\infty}\frac{(-1)^{\frac{\varphi(n)}{2}}}{n^2}=\zeta(2) \cdot \zeta(-1)},$$
où $\varphi(n)$ est la fonction totient d’Euler et $\zeta(n)$ représente la fonction zêta de Riemann.
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Réponses
$${\displaystyle\sum_{n=3}^{\infty}\frac{(-1 )^{\tfrac{\varphi(n)}{2}}}{n^2}} .$$
La même série, mais portant uniquement sur les nombres premiers, a été déterminée par Glaisher en 1893 et vaut $\approx - 0,0946198928 \dotsc$ Voir aussi l'OEIS, suite A086240.
$$\sum_{n=-\infty}^{+\infty}e^{-n^{2}}=\sqrt{\pi}\left(1+2e^{-\pi^{2}}\right).
$$ Ou plus impressionnant avec plus de $250$ décimales correctes :
$$\sum_{n=-\infty}^{+\infty}e^{-n^{2}/16}=4\sqrt{\pi}\left(1+2e^{-16\pi^{2}}\right),
$$ et une dernière pour rester dans le thème du fil
$$\sum_{n\geq1}\left\lfloor n\zeta(3)\right\rfloor 2^{-n}=\frac{2^{6}}{2^{5}-1}.$$