Convergence d'une série
dans Analyse
Bonjour
Soit la série de terme général $u_{n}=\exp\Big(\dfrac{(-1)^n}{n}\Big)-1$
$u_{n}$ est équivalent à $\dfrac{(-1)^n}{n}$ donc n'est pas de signe constant.
$\vert u_{n}\vert$ est équivalent à $\dfrac{1}{n}$ donc la série ne converge pas absolument.
J'ai essayé le TSSA avec $(-1)^n\vert\exp\Big(\dfrac{(-1)^n}{n}\Big)-1\vert$ mais le terme en valeur absolue n'est pas décroissant.
Du coup je bloque, auriez-vous une idée ?
Soit la série de terme général $u_{n}=\exp\Big(\dfrac{(-1)^n}{n}\Big)-1$
$u_{n}$ est équivalent à $\dfrac{(-1)^n}{n}$ donc n'est pas de signe constant.
$\vert u_{n}\vert$ est équivalent à $\dfrac{1}{n}$ donc la série ne converge pas absolument.
J'ai essayé le TSSA avec $(-1)^n\vert\exp\Big(\dfrac{(-1)^n}{n}\Big)-1\vert$ mais le terme en valeur absolue n'est pas décroissant.
Du coup je bloque, auriez-vous une idée ?
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Mais je ne vois pas ce que cela m'apporte de plus ?
1) Tu sais que la série du premier terme converge.
2) Tu sais que la série du second terme converge.
3) Tu sais que la série du petit $o$ converge (à démontrer, c’est tout bête si tu as le « 2) »).
On regroupe parfois 2) et 3) dans la même série.
Merci Dom et Chaurien...
C’est super pratique les DL pour ça.
Je pense à l’exemple classique où les équivalent ne permettent pas de conclure car le terme général change de signe.
À savoir :
$$
\dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}} \qquad\text{ et }\qquad \ln \Big(1+\dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}} \Big)$$
Remarque au passage pour grappiller sur les DL.
Il n'est pas nécessaire de séparer en trois termes.
Le premier terme est le terme général d'une série convergente et la somme des deux derniers termes est équivalente à $\frac{1}{2n^2}$ qui est positif et terme général d'une série convergente.
Edit: je viens de voir que tu l'as écrit à la fin de ton message.
Je n’avais pas compris ton message tout de suite.
Tu parles bien du DL du fil et non de ma remarque je pense.
Cela dit, pour le savoir, c’est grâce à un DL, non ? (même s’il existe peut-être une autre méthode)
troisqua,
Tu fais bien de le souligner quand même, d’ailleurs c’était l’objet de mon édit’ .
Je persiste à croire que pédagogiquement c’est plus parlant. Mais ce n’est pas un argument, c’est très partial.