Inéquation et dérivée

gilderetz
gilderetz
dans Analyse
Bonjour
je me posais une question sur les conditions nécessaires et suffisantes pour que
$$
f(x) \geq g(x) \text{ sur }\ I\ \Longrightarrow\ f'(x) \geq g'(x) \text{ sur }\ I.

$$ Cordialement.

Réponses

  • Frédéric Bosio
    Frédéric Bosio
    Par de dérivée de $f$ ?
  • gilderetz
    gilderetz
    pardon je corrige
  • lourrran
    lourrran
    Euhhhh , tu te poses de drôles de questions.

    La question que tu te poses, c'est :
    Que faut-il ajouter à la place des ... pour que cette affirmation devienne vraie :

    si pour tout x, $f(x) \ge g(x)$ et si .... alors pour tout $x f'(x) \ge g'(x)$.

    Voici une proposition :
    si pour tout $x, \ f(x) \ge g(x)$ et si pour tout $x,\ f(x) \le g(x)$ alors pour tout $x,\ f'(x) \ge g'(x)$.

    On peut en trouver plein d'autres. Mais elles seront toutes aussi triviales/stupides...
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • gilderetz
    gilderetz
    Je sais que c'est faux en général et je dois admettre que cette question bizarre m'est venue en tête pour je ne sais quelle raison.

    Par ailleurs, j'ai bien aimé votre réponse mais il doit quand même [y] avoir un peu mieux, peut-être en rajoutant des hypothèses de convexité.
  • Chalk
    Chalk
    Cela reste faux avec $f$ et $g$ convexes.
  • Blueberry
    Blueberry
    Un exemple (pas très passionnant) d'hypothèses qui donnent ton implication:

    Soit $f, g$ de classe $C^1$ sur un intervalle $[a,b]$ telles que l'ensemble $\{x\mid f(x)=g(x) \}$ soit dense dans $[a,b]$.

    Alors $\left ( f(x) \geqslant g(x) \text{ pour tout }x \in [a,b] \right)\quad\Longrightarrow\quad\left (f'(x) \geqslant g'(x) \text{ pour tout }x \in [a,b] \right)$

    Edit : bon, mon exemple est totalement idiot car l'hypothèse $\{x\mid f(x)=g(x) \}$ dense dans $[a,b]$ et $f, g$ continues entraîne que $f(x)=g(x)$ sur $[a,b]$.
  • lourrran
    lourrran
    Peut-être un truc du genre $f-g$ convexe permet d'avancer un peu. Mais de toutes façons, les propositions qui marcheront, ça restera des trivialités.

    Exemple de trivialité :
    Si $f$ et $g$ sont dérivables.
    Si pour tout $x,\ f(x) \ge g(x) $ et si $f-g$ est croissante, alors pour tout $x,\ f'(x) \ge g'(x)$.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Poirot
    Poirot
    @Blueberry : Ta réponse est sarcastique ?
  • sol
    sol
    Quitte à poser $h = f - g$, ça revient à chercher des conditions pour que $h \geq0 \implies h' \geq 0$ (sur $I$).

    Voici une condition nécessaire et suffisante : il existe une fonction $a : I \to \R_+$ telle que $h' = a h$.
  • Blueberry
    Blueberry
    Poirot a écrit:
    @Blueberry : Ta réponse est sarcastique ?

    Non, même pas c'était une ânerie .....
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