Monotonie d’une suite

C'est loin d'être aussi simple, Magnolia...

Bonjour
Il suffit de minorer $a_n=u_{n+1}-u_n$

On a $\displaystyle a_n=\dfrac{n+1}{(n+1)^2+1} + \sum_{k=1}^n\Big[ \dfrac{n+1}{(n+1)^2+k+1}- \dfrac{n}{n^2+k}\Big]$

$\displaystyle - \sum_{k=1}^n\Big[ \dfrac{n+1}{(n+1)^2+k+1}- \dfrac{n}{n^2+k}\Big]\ =\sum_{k=1}^n \dfrac{-k+n+n^2}{\left(k+n^2\right) \left(1+k+2 n+n^2\right)}\\
\displaystyle \qquad<\quad \sum_{k=1}^n \dfrac{n+n^2}{\left(1+n^2\right) \left(3+2 n+n^2\right)}=
\dfrac{2 n+n^2}{\left(1+n^2\right) \left(3+2 n+n^2\right)}$

Donc $\displaystyle a_n>\dfrac{n+1}{(n+1)^2+1} -\dfrac{2 n+n^2}{\left(1+n^2\right) \left(3+2 n+n^2\right)}=\frac{3+n+2 n^3+2 n^4+n^5}{\left(1+n^2\right) \left(2+2 n+n^2\right) \left(3+2 n+n^2\right)}>0$

Oui, exact j'ai corrigé.

Je ne pense pas qu'on s'en sorte avec des majorations "grossières".
Je pense qu'il va falloir aller chercher des inégalités de convexité ou des choses dans le genre pour arriver au résultat.

Alors je procède autrement en espérant qu'il n'y ait plus d'erreur.

On a $a_n=\sum_{k=1}^n \dfrac{n}{n^2+k}=\dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{1+k/n^2}$

En utilisant l'encadrement $1-x \leq \dfrac{1}{1+x} \leq 1-x + x^2 ,$ pour $x\in[0,1] $

on a $ b_n \leq a_n \leq c_n $

où $b_n= \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n( 1- \dfrac{k}{n^2})$

$c_n= \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n( 1- \dfrac{k}{n^2}+\dfrac{k^2}{n^4}) $


$b_n$ et $c_n$ se calculent facilement on trouve


$b_n=\dfrac{2 n^2-n-1}{2 n^2}$ et $c_n=\frac{6 n^4-3 n^3- n^2+3 n+1}{6 n^4}$

Mais $c_n \leq b_{n+1}$ à partir d'un certain rang

(en effet $b_{n+1}-c_n= ( n^4+2 n^3- 6 n^2- 5n -1)/(6 n^4 (1 + n)^2)$

Il y a encore un ^petit travail à faire c'est trouver ce rang qui ne doit être très grand et verifier
ce qu'il se passe pour les premiers termes.

Tu as pour tout $n\geq n_0$ , $b_n<a_n<c_n< b_{n+1} < a_{n+1}<... $

( $c_n< b_{n+1} $ à partir du rang $n_0=3$ je crois)

Sinon, on peut aussi contrôler $u_n$ par une méthode des trapèzes un peu améliorée.
Si mes calculs sont corrects, on obtient
$\displaystyle \left| u_n - \frac{\pi}{4} +\frac{1}{4n} + \frac{1}{24 n^2}\right|\leq \frac{M_3}{24 n^3}$
où $M_3$ est un majorant de la valeur absolue de la dérivée troisième de $x\mapsto \frac{1}{1+x^2}$ sur $[0,1]$.

On peut expliciter $M_3$ par le calcul (un truc un peu moche avec des $\sqrt 5$ qui vaut environ $4.668...$) et en déduire une majoration de $u_n$ et une minoration de $u_{n+1}$ qui donne la réponse par transitivité.
Si on prend $M_3=5$, seul le cas $n=1$ est à faire à la main.

JLapin, tu as dû te tromper dans tes calculs car $u_n\rightarrow 1$ puisque par des encadrements triviaux $\forall n\geq 1, \frac{n}{n+1}<u_n<1$.

Bonjour

On peut ajouter cette question supplémentaire: M.q

$a_n=1- 1/(2 n) - 1/(6 n^2)+ 1/(4 n^3) - 2/(15 n^4) + 1/(12 n^5) +o(1/n^5)$

Pourquoi s'arrêter là ? \begin{align*}u_n=&1-{\frac {1}{2\,n}}-{\frac {1}{6\,{n}^{2}}}+{\frac {1}{4\,{n}^{3}}}-{
\frac {2}{15\,{n}^{4}}}+{\frac {1}{12\,{n}^{5}}}\\
&\quad-{\frac {1}{42\,{n}^{6
}}}-{\frac {1}{24\,{n}^{7}}}+{\frac {7}{90\,{n}^{8}}}-{\frac {1}{10\,{
n}^{9}}}+{\frac {1}{11\,{n}^{10}}}-{\frac {1}{24\,{n}^{11}}}-{\frac {
89}{2730\,{n}^{12}}}\\&\quad+{\frac {9}{70\,{n}^{13}}}-{\frac {19}{90\,{n}^{14
}}}+{\frac {11}{48\,{n}^{15}}}-{\frac {12}{85\,{n}^{16}}}-{\frac {19}{
180\,{n}^{17}}}+{\frac {659}{1330\,{n}^{18}}}+O \left( {n}^{-19}
\right).
\end{align*}

ou encore
$a_n=$
$1-\frac{1}{2 n}-\frac{1}{6 n^2}+\frac{1}{4 n^3}-\frac{2}{15 n^4}+\frac{1}{12 n^5}-\frac{1}{42 n^6}-\frac{1}{24 n^7}+\frac{7}{90 n^8}-\frac{1}{10 n^9}+\frac{1}{11 n^{10}}-\frac{1}{24 n^{11}}-\frac{89}{2730 n^{12}}+\frac{9}{70 n^{13}}-\frac{19}{90 n^{14}}+\frac{11}{48 n^{15}}-\frac{12}{85 n^{16}}-\frac{19}{180 n^{17}}+\frac{659}{1330 n^{18}}$
$-\frac{127}{140 n^{19}}+\frac{7631}{6930 n^{20}}-\frac{71}{110 n^{21}}-\frac{307}{345 n^{22}}+\frac{2609}{720 n^{23}}-\frac{31303}{4550 n^{24}}+\frac{1501}{182 n^{25}}-\frac{1279}{378 n^{26}}-\frac{365}{28 n^{27}}+\frac{3802}{87 n^{28}}-\frac{4751}{60 n^{29}}+\frac{1233115}{14322 n^{30}}+\frac{16567}{7392 n^{31}}-\frac{10753807}{39270 n^{32}}+\frac{180669}{238 n^{33}}$
$-\frac{44043}{35 n^{34}}+\frac{76799}{72 n^{35}}+\frac{2394269737}{1919190 n^{36}}-\frac{128347241}{17290 n^{37}}+\frac{28707851}{1638 n^{38}}-\frac{21082879}{840 n^{39}}+\frac{150058376}{15785 n^{40}}+\frac{315328351}{4620 n^{41}}-\frac{8244755031}{33110 n^{42}}+\frac{154490461}{308 n^{43}}-\frac{119474086819}{217350 n^{44}}-\frac{597140157}{1610 n^{45}}$
$+\frac{17602758671}{4935 n^{46}}-\frac{100202972137}{10080 n^{47}}+\frac{357276158471}{21658 n^{48}}-\frac{98883364581}{11050 n^{49}}-\frac{688279653143}{14586 n^{50}}+\frac{114991278781}{572 n^{51}}-\frac{790567641502}{1749 n^{52}}+\frac{656431010123}{1188 n^{53}}+\frac{2288675551133}{6270 n^{54}}$
$-\frac{13036007348179}{3192 n^{55}}+\frac{204504683131883}{16530 n^{56}}-\frac{1277513376137}{58 n^{57}}+\frac{697851735209}{59 n^{58}}+\frac{9320534681663}{120 n^{59}}-\frac{19580196366885241657}{56786730 n^{60}}+\frac{36057112431953647}{44330 n^{61}}-\frac{54167055179784317}{54054 n^{62}}$
$-\frac{28172193014674547}{27456 n^{63}}+\frac{588276764839745396}{60775 n^{64}}-\frac{335862304100863523}{11220 n^{65}}+\frac{98468167344422355829}{1833790 n^{66}}-\frac{208716539424993441}{10948 n^{67}}-\frac{541000888549983059}{2070 n^{68}}+\frac{391612573114800209}{350 n^{69}}$
$-\frac{30843409185210245417}{11715 n^{70}}+\frac{69920271211901564059}{23760 n^{71}}+\frac{597073151367470804478429}{102740638 n^{72}}-\frac{59546393891294475917903}{1407406 n^{73}}+\frac{363862721300295607751293}{2852850 n^{74}}-\frac{2358181590063885207723}{10868 n^{75}}$
$-\frac{46072081374957101942}{3003 n^{76}}+\frac{246049093359981871633}{156 n^{77}}-\frac{20731115301912157062175}{3318 n^{78}}+\frac{23578272584205226662701}{1680 n^{79}}-\frac{519580466472225663137127757}{43471890 n^{80}}-\frac{5780196633641716530651097}{107338 n^{81}}$
$+\frac{4817683767147996871200559}{15521 n^{82}}-\frac{27699785816435124591586363}{31416 n^{83}}+\frac{4193348050403338350108882362431}{3183029850 n^{84}}+\frac{15561064824237715101451145121}{12482470 n^{85}}-\frac{8075448675461205220081580795}{522522 n^{86}}$
$+\frac{1334904981164424476754268565}{24024 n^{87}}-\frac{105874472419679946772537533936}{931385 n^{88}}+\frac{10907013028841651670142997599}{269100 n^{89}}+\frac{707917747637352233593865880776243}{949238290 n^{90}}$
$-\frac{14799943727366561286491856256709}{4172476 n^{91}}+\frac{1766558625472065354651412497248341}{191843190 n^{92}}-\frac{7211406123136870762641205303333}{687610 n^{93}}-\frac{3483817927278595575833163583139}{109725 n^{94}}$
$+\frac{50743514161259647372650705341053}{221760 n^{95}}-\frac{347678860755485412810504155034787}{471614 n^{96}}+\frac{305564105227005768681010508169265}{238238 n^{97}}+\frac{32806640585194898018742676180267}{43758 n^{98}}$
$-\frac{325091674009958450269165388117821}{22100 n^{99}}+\frac{43773457703254497195968499358556866}{736593 n^{100}}+o(\frac{1}{n^{100}})$

Bonjour,

On définit la suite $u$ par son terme général : pour tout $\displaystyle n \in \N^*$, $\displaystyle u_n = \sum_{k=1}^n {n \over n^2+k}.$

Pour montrer que cette suite est croissante (dès le premier terme), on étudie le signe de la différence $\displaystyle u_{n+1} - u_n.$

On calcule d'abord : $\displaystyle {n \over n^2+k} = {1 \over n} - {k \over n(n^2+k)}.$

On a donc $\displaystyle u_n = 1- \sum_{k=1}^n {k \over n(n^2+k)}.$

La différence est donc $\displaystyle u_{n+1} - u_n = \sum_{k=1}^n ({k \over n(n^2+k)} - {k \over (n+1)((n+1)^2+k)}) - {1 \over (n+1)(n+2)}$ où l'on a séparé le terme pour $\displaystyle k=n+1.$

On simplifie les dénominateurs brutalement par $\displaystyle 1 \leq k \leq n$ : $\displaystyle u_{n+1} - u_n \geq \sum_{k=1}^n ({k \over n(n^2+n)} - {k \over (n+1)((n+1)^2+1)}) - {1 \over (n+1)(n+2)}.$

On garde les $k$ aux numérateurs et on utilise $\displaystyle \sum_{k=1}^n k = {n (n+1) \over 2}.$

On trouve donc $\displaystyle u_{n+1} - u_n \geq {1 \over 2 n} - {n \over 2 (n^2+2n+2)} - {1 \over (n+1)(n+2)}={2 n^2 + 3 n + 2 \over n (n+1) (n+2) (n^2+2n +2)} >0.$

Voilà !

(tu)

Quand je dis à la main j'utilise aussi le logiciel xcas mais ça ne permet pas d'avoir ce que tu as eu!

C'est parce que tu fais un copier coller d'un symbole non reconnu par le forum.

A première vue cela me semble correct.

Néanmoins attention à ton dessin car l'escalier du dessous n'est pas en dessous de la courbe du dessus.
L'escalier et la courbe se recoupent sur chaque intervalle.

evariste21?