Balance entre un espace et son dual

Puisque l'ensemble des distributions est le dual de l'ensemble des fonctions tests il s'agirait plutôt d'une convergence faible-$*$. La question est un peu floue puisque changer la topologie sur $\mathcal D(\Omega)$ va potentiellement changer l'ensemble $\mathcal D'(\Omega)$ (et pas seulement sa topologie).

On aimerait avoir un résultat du genre, si $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ et si la notion de convergence est plus forte sur $F$ que sur $E$ alors $E' \subset F'$ et la convergence faible-$*$ sur $E'$ implique la convergence faible-$*$ sur $F'$. Un peu comme on a $\mathcal D(\R) \subset \mathcal S(\R) \subset \mathcal E(\R)$ et l'inclusion inverse pour leurs duals. Malheureusement ça ne peux pas être vrai tout le temps, en effet toute forme linéaire (continue) sur $E$ est encore une forme linéaire sur $F$ mais la restriction à $F$ peut faire coïncider deux formes qui n'étaient pas égales sur $E$. De sorte que rétrécir l'espace $F$ n'augmente pas forcément son dual, on le voit bien en prenant $F = \{0\}$ qui admet un dual restreint à $\{0\}$.

Précisions ce que l'on entend par "notion de convergence plus forte", on veut que tout ouvert de $E$ intersecté avec $F$ soit encore un ouvert de $F$, sous ces conditions toute forme linéaire continue sur $E$ restreinte à $F$ est encore une forme linéaire continue (sur $F$). Pour la suite on fera l'hypothèse que la restriction à $F$ des formes de $E$ est une application injective et donc que $E' \subset F'$ (attention je fais ici un abus de notation${}^1$). Cette hypothèse permet d'éviter les problèmes évoqués dans mon deuxième paragraphe. Reste maintenant à savoir si la notion de convergence de $E'$ est plus forte que celle sur $F'$, autrement dit on veut montrer que tout ouvert de $F'$ intersecté avec $E'$ est un ouvert de $E'$. Ceci se démontre assez facilement, en revenant à la définition de la topologie faible-$*$. En particulier, si $(f_n)_n$ est une suite d'élément de $E'$ qui converge vers $f$ pour la topologie faible-$*$ sur $E$ on a par définition
\[
\forall x \in E,\quad \lim_{n\to \infty} \langle f_n, x \rangle = \langle f ,x \rangle .

\] Ce qui implique que
\[
\forall x \in F, \quad \lim_{n\to \infty} \langle f_n, x \rangle = \langle f ,x \rangle \qquad\text{ou encore} \qquad\forall x \in F,\quad \lim_{n\to \infty} \langle {f_n}_{|F}, x \rangle = \langle f_{|F} ,x \rangle .

\] La convergence dans $E'$ est donc plus forte que la convergence dans $F'$ et on voit au passage qu'une fois la question bien posée et l'hypothèse $E' \subset F'$ faite il s'agit presque d'une tautologie.
${}^1$ : En réalité $E'$ n'est pas inclus dans $F'$ puisque les éléments de $E'$ sont des fonctions allant de $E$ dans $\R$ et ne peuvent donc pas être égaux aux éléments de $F'$ qui sont des fonctions allant de $F$ dans $\R$. On est donc en train de faire une identification (naturelle) entre $E'$ et un sous ensemble de $F'$, cette identification se fait en utilisant le crochet de dualité sur $E$ qui nous sert "d'espace pivot". C'est classique et sans gravité, on le fait tout le temps lorsque l'on écrit $H^1\subset L^2 = (L^2)' \subset (H^1)' = H^{-1}$, le seul "problème" est qu'on ne peut alors plus identifier $H^1$ et son dual comme on le ferait en général avec un espace de Hilbert. À ce sujet on pourra lire la remarque 1 de la partie V.2 du livre Analyse fonctionnelle de Brezis.

Hello, la condition donnée par Renart (à savoir : $E' \to F'$ injective) est vérifiée dès que $F \subset E$ est dense.
C'est le cas pour les espaces de fonctions usuels.