Suite de Picard
Bonjour
on considère le problème de Cauchy
$$
x y'+y=\sin x, \ x >0, \ y(1)=0.
$$ La question est de calculer les trois premiers termes de la suite de Picard pour ce problème.
On a
$$
y_1(x)=\int_1^x \dfrac{\sin s}{s} ds.
$$ Il n'est pas possible de calculer la valeur explicite de cette intégrale. Est-ce qu'il est possible d'avoir une formule implicite de cette intégrale et continuer pour $y_2$ et $y_3$ et ainsi déduire la solution $y$ ?
Merci d'avance.
on considère le problème de Cauchy
$$
x y'+y=\sin x, \ x >0, \ y(1)=0.
$$ La question est de calculer les trois premiers termes de la suite de Picard pour ce problème.
On a
$$
y_1(x)=\int_1^x \dfrac{\sin s}{s} ds.
$$ Il n'est pas possible de calculer la valeur explicite de cette intégrale. Est-ce qu'il est possible d'avoir une formule implicite de cette intégrale et continuer pour $y_2$ et $y_3$ et ainsi déduire la solution $y$ ?
Merci d'avance.
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Réponses
Pour ce qui est de la solution $y$, si on ne te demande pas de faire autrement, utilise la méthode classique par variation de la constante.
On a
$$
y_2(x)= \displaystyle\int_1^x \dfrac{1}{s} y_1(s) ds + \int_1^x \dfrac{\sin s}{s} ds = \int_1^x \dfrac{1}{s} \Big(\int_1^s \dfrac{\sin u}{u} du\Big) ds + \int_1^x \dfrac{\sin s}{s} ds.
$$ Mais après on fait quoi de tout ça ?
Puis tu calcules $y_3$.
$$
y_2(x)= (\ln(x)+1) \displaystyle\int_1^x \dfrac{\sin u}{u} du - \int_1^x \ln(s) \dfrac{\sin(s)}{s} ds.
$$ Qu'en pensez-vous ?
Pour $y_3$ ça a l'air compliqué. Il y a plus simple pour $y_3$ ?
Merci d'avance pour l'aide.
Bon courage pour $y_3$