Spectre d'un opérateur de translation

Bonjour a tous.
On considère l'opérateur $T:L^{2}(0,1+r)\rightarrow L^{2}(0,1+r)$, $\ r\in\,]0,1[$ défini par
\begin{equation*}
Tu(x)=\left\{
\begin{array}{lll}
au(x+r), & \mathrm{si} & x\in \,]0,1[, \\
& & \\
bu(x-1), & \mathrm{si} & x\in \,]1,1+r[,%
\end{array}%
\right.

\end{equation*} avec $a,b\in
%TCIMACRO{\U{211d} }%
%BeginExpansion
\mathbb{R}
%EndExpansion
.$ Le but est de trouver le spectre de $T$. On a
\begin{equation*}
\lambda u=Tu\Leftrightarrow \left\{
\begin{array}{lll}
au(x+r)=\lambda u(x), & \mathrm{si} & x\in \,]0,1[, \\
& & \\
bu(x-1)=\lambda u(x) & \mathrm{si} & x\in \,]1,1+r[.
\end{array}%
\right.

\end{equation*} En développant $u$ en série de Fourier sur $]0,1+r[,$ on obtient
\begin{equation*}
u(x)=\sum_{n\in
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
}c_{n}e^{\tfrac{2n\pi i}{1+r}x}.

\end{equation*} On injecte cette dernière on obtient
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{l}
ae^{-\tfrac{2n\pi i}{1+r}r}=\lambda , \\
\\
be^{\tfrac{2n\pi i}{1+r}}=\lambda ,%
\end{array}%
\right. ,\quad n\in
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
.
\end{equation*} La dernière équation admet une solution si et seulement si
\begin{equation*}
\lambda ^{1+r}=ab^{r}=a|b|^{r}e^{\left( \arg b+2n\pi i\right) r\text{ }%
},\quad n\in
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
,\text{ }

\end{equation*} et comme le spectre d'un opérateur borné est fermé, on obtient
\begin{equation*}
\sigma (T)=\overline{\{|ab^{r}|e^{\left( \arg ab^{r}+2n\pi \right) \tfrac{1}{%
1+r}},n\in
%TCIMACRO{\U{2124} }%
%BeginExpansion
\mathbb{Z}
%EndExpansion
\}}.
\end{equation*} Je voudrais savoir si les étapes précédentes sont correctes ?
Merci.

[Ne pas confondre couple et intervalle ouvert ! AD]