Il faudrait le convaincre que $(1-\sqrt{2})^{2020} = a - \sqrt{2}\, b $
Et je complète : avec le même entier $a$ et le même entier $b$ que dans $(1+\sqrt{2})^{2020}=a+\sqrt{2}b$.
$a^2-2b^2$, c'est le début d'une identité remarquable.
$a^2-2b^2 = (a+\sqrt{2}b)(a-\sqrt{2}b)$
Avec ces 2 briques, on a les bases pour construire le calcul.
Si 3AC, ça veut dire classe de 3ème, ça me paraît un exercice très difficile pour une classe de 3ème. Je pense que même en terminale, cet exercice ferait beaucoup de dégâts !
Edit : correction signe + au lieu de -
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
Si l'exposant n'était pas $2020$, on pourrait penser que l'exercice a été donné en IIIè classique (lettre A) dans les années soixante, époque où cela n'eût fait peur à personne.
Peut-être qu'on savait dans les années 60 que la norme dans $\mathbb Z[\sqrt 2]$ est multiplicative.
Après tout, on peut faire les calculs en 3ème.
Et alors l'exercice devient trivial...
def a_et_b(n):
a, b = 1, 0
for _ in range(n):
a, b = a+2*b, a+b
return (a, b)
a, b = a_et_b(2020)
print("a =", a)
print("b =", b)
print("a^2 - 2 b^2 =", a**2 - 2*b**2)
On ne s'embête pas et on attaque la théorie des anneaux, ça ne coûte pas beaucoup plus cher.
Je plaisante évidemment mais pas tant que ça. On apprend pas mal de choses élémentaires sur les anneaux $\mathbb{Z}[{\sqrt x}]$ sans le dire avec ce petit exercice.
Réponses
Il ne reste qu'à faire le produit.
Sinon, ça veut dire quoi 3AC ?
Et je complète : avec le même entier $a$ et le même entier $b$ que dans $(1+\sqrt{2})^{2020}=a+\sqrt{2}b$.
$a^2-2b^2$, c'est le début d'une identité remarquable.
$a^2-2b^2 = (a+\sqrt{2}b)(a-\sqrt{2}b)$
Avec ces 2 briques, on a les bases pour construire le calcul.
Si 3AC, ça veut dire classe de 3ème, ça me paraît un exercice très difficile pour une classe de 3ème. Je pense que même en terminale, cet exercice ferait beaucoup de dégâts !
Edit : correction signe + au lieu de -
-- Schnoebelen, Philippe
Après tout, on peut faire les calculs en 3ème.
Et alors l'exercice devient trivial...
def a_et_b(n): a, b = 1, 0 for _ in range(n): a, b = a+2*b, a+b return (a, b) a, b = a_et_b(2020) print("a =", a) print("b =", b) print("a^2 - 2 b^2 =", a**2 - 2*b**2)Je plaisante évidemment mais pas tant que ça. On apprend pas mal de choses élémentaires sur les anneaux $\mathbb{Z}[{\sqrt x}]$ sans le dire avec ce petit exercice.