À propos de la convergence au sens d'Abel
Comme exemple d'une série divergente, mais convergeant au sens d'Abel, on trouve toujours $\sum(-1)^n$ ; je préférerais un exemple de suite convergeant en plus vers $0$, c'est-à-dire : $a_n\to0$, $\sum a_n$ diverge et $\sum a_nx^n$ admet une limite finie lorsque $x\to1^-$.
Qui aurait cela en magasin ?
Cordialement, j__j
Qui aurait cela en magasin ?
Cordialement, j__j
Réponses
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$a_n := \dfrac{1}{n}$ tend vers $0$, donne une série divergente et $\displaystyle \sum \dfrac{x^n}{n} = -\ln(1-x)$ sur $]-1~;~1[$ si je ne dis pas de bêtises.
EDIT : crochets d'intervalle dans le mauvais sens. -
Il y a un problème avec ton exemple Homo Topi…
Il me semble que ça ne peut pas marcher avec une suite $(a_n)$ positive : les deux notions de convergence sont équivalentes dans ce cas sauf erreur de ma part. -
J'avais mis les crochets dans le mauvais sens, il y a autre chose qui ne marche pas ?
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Lorsque $x\to 1$, la limite de la fonction n’est pas finie.
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C'est pas faux :)o
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Eh oui, eh oui ! Un exemple est forcément quelque peu compliqué : $(a_n)$ ne doit pas être de signe constant, ne doit pas être un ${\rm O}(1/n)$, à peine de tomber sous le coup du théorème de Littlewood. Cela dit, si mes souvenirs sont exacts, la convergence au sens de Cesàro de la suite $a_1+\dots+a_n$ implique la convergence de $\sum a_n$ au sens d'Abel et cela doit permettre des vérifications commodes.
Quoique rien ne cloch' là-d'dans, j'y retourn' immédiat'ment. -
J'essaierais bien avec quelque chose du genre $a_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n-(-1)^n}}$ pour $n\geq 2$... mais je ne sais pas vraiment si dans ce cas $\displaystyle f(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}a_nx^n$ possède une limite lorsque $x\rightarrow 1^-$.
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Bonsoir, bisam,
j'ai bien peur que ta série ne converge... Peut-être plutôt $a_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt n-(-1)^n}\cdot$
Ben non ; elle doit diverger au sens d'Abel itou (faire un DL). -
Ca doit marcher avec $1,-1,-1/2,-1/2,1/2,1/2,1/3,1/3,1/3,-1/3,-1/3,-1/3,-1/4.......$
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Là, cela se présente mieux ; déjà, la série diverge et la convergence de $(s_n)$ au sens de Cesàro doit se vérifier sans trop de mal.
Merci à vous tous, j__j -
L'étape suivante, c'est une suite qui tend vers zéro, dont la série associée converge au sens d'Abel mais pas au sens de Cesaro.
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Math Coss : tu mets la barre encore plus haut (dans les exemples classiques, les suites $(a_n)$ sont même non bornées) :-?!
Dans l'exemple de Frédéric Bosio, les moyennes de Cesàro de $(s_n)$ sont un peu longues à calculer, même si l'on se limite à des sous-suites bien choisies. L'exemple qui suit s'en inspire (suite périodique amortie) : on fait en sorte que $s_n=\int_{n}^{n+1}{\rm e}^{{\rm i}\pi\sqrt t}\,{\rm d}t$ et donc $a_n=\int_{n}^{n+1}\Big({\rm e}^{{\rm i}\pi\sqrt t}-{\rm e}^{{\rm i}\pi\sqrt{t-1}}\Big)\,{\rm d}t$ pour $n\geqslant1$.
Puisque $x\mapsto{\rm e}^{{\rm i}\pi x}$ est $\pi$--lipschitzienne, on vérifie ici encore que $a_n\to0$ car c'est un ${\rm O}(1/\sqrt n)$ ; en outre, les intégrales se calculent <<explicitement>> (chgt de variable puis IPP) et, sauf erreur de ma part, on a $s_{p^2}\sim(-1)^p$ et $s_0+...+s_n={\rm O}(\sqrt n)$, ce qui entraîne la dv en tant que série, et la convergence avec somme nulle au sens d'Abel. -
Je me permets d'ajouter un commentaire car j'ai acquis le livre de Choimet-Queffelec récemment où les auteurs sont à juste titre tombés en pâmoison devant le théorème taubérien de Littlewood et son article de 1911. Littlewood y montre en plus que la condition $na_n=O(1)$ est optimale. En effet si $\varPhi(n)$ est n'importe quelle suite non bornée alors il existe une série $\sum a_{n}$ vérifiant $\left|na_{n}\right|\leq\left|\varPhi(n)\right|$ qui est divergente mais sommable au sens d'Abel. C'est le théorème (C) de Littlewood dans son article de 1911 "The converse of Abel's theorem on power series" que je joints à ce message. Démo pas facile à suivre cependant...Existe-t-il des versions plus simples de ce théorème (C)?
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