À propos de la convergence au sens d'Abel

Eh oui, eh oui ! Un exemple est forcément quelque peu compliqué : $(a_n)$ ne doit pas être de signe constant, ne doit pas être un ${\rm O}(1/n)$, à peine de tomber sous le coup du théorème de Littlewood. Cela dit, si mes souvenirs sont exacts, la convergence au sens de Cesàro de la suite $a_1+\dots+a_n$ implique la convergence de $\sum a_n$ au sens d'Abel et cela doit permettre des vérifications commodes.
Quoique rien ne cloch' là-d'dans, j'y retourn' immédiat'ment.

Bonsoir, bisam,
j'ai bien peur que ta série ne converge... Peut-être plutôt $a_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt n-(-1)^n}\cdot$

Ben non ; elle doit diverger au sens d'Abel itou (faire un DL).

Là, cela se présente mieux ; déjà, la série diverge et la convergence de $(s_n)$ au sens de Cesàro doit se vérifier sans trop de mal.

Merci à vous tous, j__j

Math Coss : tu mets la barre encore plus haut (dans les exemples classiques, les suites $(a_n)$ sont même non bornées) :-?!

Dans l'exemple de Frédéric Bosio, les moyennes de Cesàro de $(s_n)$ sont un peu longues à calculer, même si l'on se limite à des sous-suites bien choisies. L'exemple qui suit s'en inspire (suite périodique amortie) : on fait en sorte que $s_n=\int_{n}^{n+1}{\rm e}^{{\rm i}\pi\sqrt t}\,{\rm d}t$ et donc $a_n=\int_{n}^{n+1}\Big({\rm e}^{{\rm i}\pi\sqrt t}-{\rm e}^{{\rm i}\pi\sqrt{t-1}}\Big)\,{\rm d}t$ pour $n\geqslant1$.

Puisque $x\mapsto{\rm e}^{{\rm i}\pi x}$ est $\pi$--lipschitzienne, on vérifie ici encore que $a_n\to0$ car c'est un ${\rm O}(1/\sqrt n)$ ; en outre, les intégrales se calculent <<explicitement>> (chgt de variable puis IPP) et, sauf erreur de ma part, on a $s_{p^2}\sim(-1)^p$ et $s_0+...+s_n={\rm O}(\sqrt n)$, ce qui entraîne la dv en tant que série, et la convergence avec somme nulle au sens d'Abel.