À propos de la convergence au sens d'Abel
Comme exemple d'une série divergente, mais convergeant au sens d'Abel, on trouve toujours $\sum(-1)^n$ ; je préférerais un exemple de suite convergeant en plus vers $0$, c'est-à-dire : $a_n\to0$, $\sum a_n$ diverge et $\sum a_nx^n$ admet une limite finie lorsque $x\to1^-$.
Qui aurait cela en magasin ?
Cordialement, j__j
Qui aurait cela en magasin ?
Cordialement, j__j
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Réponses
EDIT : crochets d'intervalle dans le mauvais sens.
Il me semble que ça ne peut pas marcher avec une suite $(a_n)$ positive : les deux notions de convergence sont équivalentes dans ce cas sauf erreur de ma part.
Source
Edit : je n’ai pas vu que tu demandais $a_n$ tend vers 0.
Quoique rien ne cloch' là-d'dans, j'y retourn' immédiat'ment.
j'ai bien peur que ta série ne converge... Peut-être plutôt $a_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt n-(-1)^n}\cdot$
Ben non ; elle doit diverger au sens d'Abel itou (faire un DL).
Merci à vous tous, j__j
Dans l'exemple de Frédéric Bosio, les moyennes de Cesàro de $(s_n)$ sont un peu longues à calculer, même si l'on se limite à des sous-suites bien choisies. L'exemple qui suit s'en inspire (suite périodique amortie) : on fait en sorte que $s_n=\int_{n}^{n+1}{\rm e}^{{\rm i}\pi\sqrt t}\,{\rm d}t$ et donc $a_n=\int_{n}^{n+1}\Big({\rm e}^{{\rm i}\pi\sqrt t}-{\rm e}^{{\rm i}\pi\sqrt{t-1}}\Big)\,{\rm d}t$ pour $n\geqslant1$.
Puisque $x\mapsto{\rm e}^{{\rm i}\pi x}$ est $\pi$--lipschitzienne, on vérifie ici encore que $a_n\to0$ car c'est un ${\rm O}(1/\sqrt n)$ ; en outre, les intégrales se calculent <<explicitement>> (chgt de variable puis IPP) et, sauf erreur de ma part, on a $s_{p^2}\sim(-1)^p$ et $s_0+...+s_n={\rm O}(\sqrt n)$, ce qui entraîne la dv en tant que série, et la convergence avec somme nulle au sens d'Abel.