Contre-ex sommes de fermés sans hyp compact
Bonjour
J'ai un contre-exemple mais je ne le comprends pas...
F={(x,y)€(R×R) | xy>=1 et x>=1} un fermé,
et G={(x,y)€(R×R) | y=<0 et x>=0} un fermé.
Alors F+G ={(x,y)€(R×R) | x>=0}U{0}×[0,+inf[ n'est pas fermé
En fait je ne comprends même pas le résultat de la somme,
Pour moi la somme est juste égale à F+G ={(x,y)€(R×R)| x>=0}
Je ne vois pas d'où vient U{0}×[0,+inf[ et pourquoi ce n'est pas un fermé ?
Merci pour le temps que vous m'accorderez. C'est mon premier post !
Bien respectueusement !
J'ai un contre-exemple mais je ne le comprends pas...
F={(x,y)€(R×R) | xy>=1 et x>=1} un fermé,
et G={(x,y)€(R×R) | y=<0 et x>=0} un fermé.
Alors F+G ={(x,y)€(R×R) | x>=0}U{0}×[0,+inf[ n'est pas fermé
En fait je ne comprends même pas le résultat de la somme,
Pour moi la somme est juste égale à F+G ={(x,y)€(R×R)| x>=0}
Je ne vois pas d'où vient U{0}×[0,+inf[ et pourquoi ce n'est pas un fermé ?
Merci pour le temps que vous m'accorderez. C'est mon premier post !
Bien respectueusement !
Réponses
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Hmm... Je ne suis d'accord avec aucun des deux résultats puisqu'ici $F + G$ est clairement inclus dans $\left[1,+\infty\right[\times\R$. Peux-tu vérifier l'énoncé ?
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Un exemple du même genre qui fonctionne : $A = \{(x,y) \in \R^2 \mid xy \geq 1\}$ et $B = \R\times\{0\}$ sont deux fermés tels que $A + B = \R\times \R^*$.
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http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00039.pdf
C'est l'exercice 7 de la fiche exos7, il y a la correction!
Il y a peut-être une erreur...
Merci pour votre contre-exemple -
C'est toi qui a ajouté une erreur en recopiant. L'exemple d'exo7 semble correct, bien qu'un peu plus compliqué que le mien.
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Ah oui excusez moi c'est F={(x,y)€(R×R) | xy>=1 et x>=0} en effet.
Mais du coup je ne comprends quand même pas le résultat de F+G qui n'est pas un fermé ! Et pourquoi F+G est égal à {(x,y)€(R×R)| x>=0}U{0}×[0,+inf[, n'a-t-on pas {0}×[0,+inf[ inclus dans {(x,y)€(R×R) | x>=0} ?
Merci de votre réponse, et désolé de l'erreur de recopie. -
Effectivement il y a un problème avec cette correction :
- l'ensemble $F$ est inclus dans $\left]0,+\infty\right[^2$ car $x \geq 0$ et $xy \geq 1$ implique $x > 0$ et $y > 0$ ;
- donc $F+G \subset \left]0,+\infty\right[\times \R$ car $x_1 > 0$ et $x_2 \geq 0$ implique $x_1+x_2 > 0$ ;
- c'est même une égalité car tout couple $(x,y)$ tel que $x > 0$ peut se décomposer en $(x,\tfrac1x + |y|) + (0, - \tfrac1x - |y| + y)$.
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Super ! Un grand merci! Et juste une dernière question ]0,+inf[ × R est un ouvert mais quelle est l'argument pour dire que ce n'est pas un fermé ?
-
Quelle est son adhérence ?
-
C'est [0,+inf[ ×R ! Ok super merci !
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