Diamètre infini d'une partie
Bonjour à tous,
Je cherche un exemple de partie $A$ pour laquelle le diamètre $\delta(A)=+\infty$.
Soit $A$ une partie non vide d'un espace métrique $(E,d)$.
On appelle diamètre de $A$, et on note $\delta(A)$, l'élément de $\mathbb{R}^+\cup \{+\infty\}$ défini par :
$$\delta (A)= \sup \{d(x,y)\mid x, \; y\in A\}.
$$ Merci d'avance pour vos réponses.
Je cherche un exemple de partie $A$ pour laquelle le diamètre $\delta(A)=+\infty$.
Soit $A$ une partie non vide d'un espace métrique $(E,d)$.
On appelle diamètre de $A$, et on note $\delta(A)$, l'élément de $\mathbb{R}^+\cup \{+\infty\}$ défini par :
$$\delta (A)= \sup \{d(x,y)\mid x, \; y\in A\}.
$$ Merci d'avance pour vos réponses.
Réponses
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Bonne nuit,
Dans $\mathbb{R}$ muni de la distance usuelle, la partie $\mathbb{Q}$ a un diamètre infini.
Cordialement,
Rescassol -
Bon, ça semble être simple, j'essaie d'écrire la preuve, mais je n'arrive pas à démontrer ce que tu dis.
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On peut faire plus simple : dans $\R$, regarde le diamètre de $\N$.
Puisque le diamètre est un $\sup$, on peut fixer $x$ et ensuite regarder les $d(x,y)$. Si on peut montrer que pour un certain $x$ fixé, il existe un $y$ tel que $d(x,y)$ est aussi grand que l'on veut, c'est réglé. -
Tu peux utiliser la caractérisation séquentielle de la borne supérieure.
$M = \sup F$ si et seulement si il existe une suite d'éléments de $F$ qui tend vers $M$.
Je suis d'accord avec Homo Topi pour le diamètre de $\N$.
On pose $x_n = 0$ et $y_n =n$ on a $d(x_n,y_n)=|n-0|=n$. $(d(x_n,y_n))_{n \in \N}$ est une suite d'éléments de $\{ d(x,y) \ | \ x,y \in \N \}$ et elle diverge vers $+\infty$
Ainsi, $\sup \{ d(x,y) \ | \ x,y \in \N \} = +\infty$ et finalement $\boxed{\delta(\N)=+ \infty}$ -
C'est très clair. Merci beaucoup à tous pour toutes ses lumières.
-
Juste pour vraiment bien enfoncer le clou.
On n'appelle pas ça le "diamètre" d'une partie pour rien. Pour commencer gentiment : imagine (ou bien dessine carrément) un patatoïde sur une feuille. Le diamètre de ce patatoïde est le plus petit diamètre possible pour un disque (donc une boule de $\R^2$ pour $d$ la distance euclidienne) dans lequel le patatoïde serait complètement inclus. On reconnait bien un $\sup$ : le plus petit des majorants parmi les diamètres de disques valides.
Bon, le plan, c'est $\R^2$, et on t'a conseillé de regarder des exemples dans $\R$. Ce n'est pas particulièrement compliqué. Dans $\R$, une boule est simplement un segment, donc on se pose la question suivante : qu'y a-t-il comme partie de $\R$ qu'on ne peut pas inclure dans un segment de longueur finie ? Il y en a des tonnes, et $\N$ ou $\Z$ sont probablement les exemples les plus immédiats auxquels on pourrait penser.
Petit exo hors-sujet mais sûrement intéressant auquel je viens de penser, mais que je ne sais pas résoudre dans l'immédiat : étant donné un patatoïde dans $\R^2$, dessiner le cercle (en supposant qu'il n'y en a qu'un : exo ?) qui a le diamètre du patatoïde et qui l'inclut. Ce qui requiert de trouver le centre de ce cercle... -
OShine écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2321036,2321076#msg-2321076
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
Attention @tylinx, la caractérisation que te propose Oshine est fausse.
Si elle était vraie, on aurait $\forall a\in F,\ \sup F=a$. -
Oui, c'est le théorème d'OShine fort.
On en déduit la version faible (théorème du 0-1 d'OShine) :
Pour toute question de concours, si 100% des candidats n'ont pas répondu, cette question est impossible.
Preuve : posons a=0.
Comme a est le sup du nombre de candidats ayant réussi (théorème), c'est que personne n'a réussi.
CQFD
Application en ingénierie pédagogique :
On ne perd pas son temps à chercher un problème sans avoir consulté le rapport du jury avant.
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