Tenseur

Bonjour,
Pour tout ev E sur K, et tout entier naturel k, on définit l'ev Sym^k(E) des tenseurs symétriques d'ordre k. On pose Sym^o(E) = K et Sym¹(E) = E.
A mon avis, comme j'y ai fait déjà allusion dans un autre post, on en a une image plus nette en dualisant. En effet, Sym^k(E^*) est - à isomorphisme près - l'ev des fonctions polynômiales homogènes de degré k sur E.
En particulier,si on prend E = Kⁿ, on obtient Sym^k(E^*), l'ev des polynômes homogènes de degré k à n variables. Une base de cet espace est formé des monômes de degré k. Par exemple Sym²(E^*) est l'ev des formes quadratiques sur E.
La question que vous posez est ambiguë. S'agit-il, partant d'un polynôme homogène Q = Q(X₁, X₂,...,X_n) de degré 4, de le décomposer en un produit aP où a est linéaire et P homogène de degré 3? C'est évidemment impossible en général. (Du point de vue géométrique, une quartique dans le plan projectif, n'est pas la réunion d'une droite et dune cubique, sauf cas très particulier).
Mais je n'ai peut-être pas bien compris votre question.
Cordialement.