La dérivabilité est-elle locale ?

Je traite juste le cas de la dérivation dans $\R$, mais pour la différentiabilité dans un EVN, ça devrait marcher aussi.

On dit qu'une fonction $f$ est dérivable en $a$ si la fonction taux d'accroissement $\tau_a : h \longmapsto \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ admet une limite finie quand $h \longrightarrow 0$.

En particulier, $f(a+h)$ doit être défini quelque part. Donc $f$ doit être définie "un peu autour de $a$". La seule manière d'avoir ça, c'est que $f$ soit définie sur un "vrai" intervalle autour de $a$, dans le sens : un truc que ne soit pas $\{a\}$, mais un intervalle qui contienne des valeurs un peu plus grandes et un peu plus petites que $a$, pour pouvoir approcher $a$ par $a+h$ des deux côtés (avec des $h$ positifs et négatifs). Remarque : pour la dérivabilité à gauche/droite, évidemment, il suffit que l'intervalle "dépasse $a$" d'un seul côté.

Un "vrai intervalle" de cette forme va être borné par $a \pm \varepsilon$, avec $\varepsilon > 0$. Peu importe si ces bornes sont incluses dans l'intervalle ou non, l'intervalle ouvert $]a-\varepsilon;a+\varepsilon[$ sera, lui, toujours inclus dedans. Donc ça "suffit" d'exiger que $f$ soit définie sur un voisinage ouvert de $a$ pour que ma fonction $\tau_a$ soit toujours définie.