La dérivabilité est-elle locale ?
Salut à tous
Quelqu'un peut m'expliquer les points suivants.
1) Pourquoi lorsqu'on va définir la notion de la dérivabilité en choisit toujours un intervalle ouvert ?
2) La dérivation est une notion locale et non ponctuelle ?
3) La dérivation est une notion locale et non globale ?
Merci d'avance.
Quelqu'un peut m'expliquer les points suivants.
1) Pourquoi lorsqu'on va définir la notion de la dérivabilité en choisit toujours un intervalle ouvert ?
2) La dérivation est une notion locale et non ponctuelle ?
3) La dérivation est une notion locale et non globale ?
Merci d'avance.
Réponses
-
1) Parce que c'est plus général.
Mais on sait aussi définir qu'une fonction $f:[0,1]\to R$ est dérivable en $0$.
2) La dérivabilité de $f$ en $a$ dépend non seulement de $f(a)$ mais aussi des valeurs de $f(x)$ pour $x$ proche de $a$.
3) C'est les deux en fait. -
Je traite juste le cas de la dérivation dans $\R$, mais pour la différentiabilité dans un EVN, ça devrait marcher aussi.
On dit qu'une fonction $f$ est dérivable en $a$ si la fonction taux d'accroissement $\tau_a : h \longmapsto \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ admet une limite finie quand $h \longrightarrow 0$.
En particulier, $f(a+h)$ doit être défini quelque part. Donc $f$ doit être définie "un peu autour de $a$". La seule manière d'avoir ça, c'est que $f$ soit définie sur un "vrai" intervalle autour de $a$, dans le sens : un truc que ne soit pas $\{a\}$, mais un intervalle qui contienne des valeurs un peu plus grandes et un peu plus petites que $a$, pour pouvoir approcher $a$ par $a+h$ des deux côtés (avec des $h$ positifs et négatifs). Remarque : pour la dérivabilité à gauche/droite, évidemment, il suffit que l'intervalle "dépasse $a$" d'un seul côté.
Un "vrai intervalle" de cette forme va être borné par $a \pm \varepsilon$, avec $\varepsilon > 0$. Peu importe si ces bornes sont incluses dans l'intervalle ou non, l'intervalle ouvert $]a-\varepsilon;a+\varepsilon[$ sera, lui, toujours inclus dedans. Donc ça "suffit" d'exiger que $f$ soit définie sur un voisinage ouvert de $a$ pour que ma fonction $\tau_a$ soit toujours définie.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.8K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 52 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres