Norme d'un opérateur auto-adjoint

Diasmine · October 2021

Bonjour, j'essaie de démontrer le théorème suivant. Mais je ne comprends pas pourquoi
$ |||A||| = \sup( Re <Au,v>)$ quand $u$ et $v$ sont de norme $1$.
C'est sûrement trivial mais je ne vois pas le lien...

J'ai fait : $||A||| = \sup|<Au,v>| = \sup|<u,Av>| = \sup|<Av,u>|$ (car $A* =A$), où $u$ et $v$ sont bien sûr de norme $1$... Mais je n'arrive à rien... 128206

JLapin · October 2021

En considérant que $\|A\| =\sup_{\|x\|=1} \|Ax\|$, tu as une double inégalité à démontrer.

L'un des deux sens est une conséquence de l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
Pour l'autre sens, tu peux partir de $\| Ax\|^2$ et supposer que $Ax\neq 0$ afin de faire intervenir le vecteur $y=\frac{Ax}{\| Ax\|}$.

Norme d'un opérateur auto-adjoint

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