Une suite qui admet plusieurs limites

wakasu75
wakasu75
dans Analyse
Quelque chose me turlupine depuis quelques jours, depuis que j'ai découvert l'existence du théorème de réarrangement de Riemann.

Considérons la suite $(U_n)_n$ telle que $\forall n\geq0,\ U_n=\sum_{k}^{n}{\frac{(-1)^k}{k+1}} $
Alors d'après le critère de convergence des séries alternées cette suite converge. (On peut même démontrer que cette suite tend vers $\ln(2)$), j'ai même essayé de faire un mini script sur mon ordinateur et j'observe en pratique qu'elle tend bien vers une valeur de plus en plus proche de $\ln(2)$.
Bref, tout allait bien dans le meilleur des mondes, la suite $(U_n)_n$ admet une limite et d'après le théorème d'unicité de la limite celle-ci est unique.
Tout allait bien jusqu'à ce que le théorème de réarrangement de Riemann vienne tout contredire en disant que cette suite convergeait en fait vers toutes les valeurs possibles, ce qui dans mon imaginaire, était quelque chose de totalement impossible.

Je suis donc passé à côté de quelque chose et j'aimerais savoir quoi, merci d'avance de votre réponse.

Réponses

  • Chalk
    Chalk
    Il te faut relire l'énoncé du théorème de réarrangement, il ne dit pas du tout cela. Il dit qu'on peut construire une autre série, en réarrangeant les termes de la série initiale, de sorte qu'elle converge vers la limite qu'on aura choisi au préalable.

    Il ne dit pas du tout que la suite d'origine converge vers plusieurs limites.
  • JLapin
    JLapin
    Ce n'est pas la suite initiale qui ne converge pas vers $\ln(2)$ et le théorème d'unicité de la limite n'est heureusement pas mis en défaut.
  • wakasu75
    wakasu75
    Merci de votre réponse Chalk, j'ai en effet mal interprété le théorème étant donné que je ne l'ai pas vraiment étudié en profondeur, mais il reste toujours assez contre-intuitif pour moi de me dire que le comportement à l'infini soit différent même en changeant l'ordre de sommation, je vais aller me renseigner plus rigoureusement sur le théorème pour mieux le comprendre.
  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    Réarranger, ça permet de passer de
    $1-\frac 1 2+\frac 1 3 -\frac 1 4 +\frac 1 5 - \frac 1 6 + ....$ à
    $1+\frac 1 3 +\frac 1 5 -\frac 1 2 + \frac 1 7 + \frac 1 9 - \frac 1 4 +\frac 1{11}+\frac 1 {13}- \frac 1 {6} + ...$
    avec à chaque fois deux fractions avec + puis la fraction suivante parmi celles qui ont -, ce qui fait que le total des trois reste positif. Comme chaque paquet est positif, le total dépasse 1. Contrairement à $\ln 2$.
    C'est l'avantage de l'infini : On peut rejeter les termes loin, ce qui compte c'est qu'on les retrouve à un moment.

    Cordialement.
  • Riemann_lapins_cretins
    Riemann_lapins_cretins
    Le théorème explique justement que sans l'hypothèse d'absolue convergence la somme de la série comme étant la suite des sommes partielles doit être interprétée rigoureusement comme n'étant rien d'autre que ladite limite, et non pas la somme de tous les termes qui vaut ce qu'on veut.
    Ce qui rappelle un peu l'intégrale de Lebesgue ou généralisée si tu n'en es pas encore là, pour laquelle une intégrale sur $\mathbb{R}$ n'est définie que si l'intégrande est absolument convergente.
    Par exemple l'intégrale de Dirichlet de même doit être interprétée comme étant strictement la limite des intégrales de 0 à A, et non pas comme une intégrale qui aurait les propriétés qu'on attend d'une vraie intégrale.
    C'est vraiment un théorème d'interprétation (contre-intuitive) d'une notation. Il faut le voir comme ça et donc guérir de cette vision de la somme d'une série semi-convergente comme étant une vraie somme de tous les termes. C'est pourquoi le rearrangement des termes donne bien plusieurs sommes car plusieurs suites partielles distinctes.
  • Poirot
    Poirot
    Ravi de te revoir Chalk. :-)

    On peut même montrer mieux : il existe un réarrangement de la série (toujours convergente non absolument convergente) dont l'ensemble des valeurs d'adhérence soit dense dans $\mathbb R$.
  • Dom
    Dom
    L’ensemble des valeurs d’adhérence est un intervalle.
    Selon le réarrangement on peut s’amuser à viser entre $a$ et $b$ quelconques (dont plus ou moins ’infini…).

    Il faut s’attarder un peu sur une preuve.
    Ça coule de source une fois compris.

    Deux remarques :
    Il existe la notion de série « commutativement convergentes » qui coïncide avec « absolument convergentes ».
    On parle moins de l’autre propriété élémentaire de l’addition, à savoir l’associativité.
    Dans ce cas, c’est la sommation dite « par paquets » qui encadre cette notion.
  • Poirot
    Poirot
    @Dom : Pas compris d'où vient l'affirmation du fait que l'ensemble des valeurs d'adhérence (de quoi ?) est un intervalle.
  • JLapin
    JLapin
    Si $\sigma$ est une permutation de $\N$ et que la suite $(u_n)$ converge vers $0$, alors la suite $(u_{\sigma(n)})$ converge aussi vers $0$ et donc l'ensemble des valeurs d'adhérence de la suite $S_n=\sum_{k=1}^n u_{\sigma(k)}$ est un intervalle.
  • Dom
    Dom
    Poirot,

    Quand on réarrange une série semi-convergente, supposons qu’on souhaite lui donner au moins deux valeurs d’adhérence $a$ et $b$, alors du fait de la convergence du terme général vers $0$, on a toutes les valeurs entre $a$ et $b$ qui sont des valeurs d’adhérence (ça oscille entre $a$ et $b$ en balayant l’intervalle).
    On ne peut pas faire en sorte qu’il n’y ait que deux valeurs d’adhérence distinctes.
    On ne peut pas faire en sorte non plus qu’une valeur entre $a$ et $b$ ne soit pas valeur d’adhérence.

    Je parle de la suite des sommes partielles.

    D’ailleurs tu dis « qui est dense » dans $\mathbb R$.
    Mais l’ensemble des valeurs d’adhérence est même tout $\mathbb R$ dans ce cas.
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