Image réciproque
Bonjour,
Soient $E$ et $F$ deux $\K$ espaces vectoriels normés et $A$ une partie de $E$. ($\K$ désigne $\R$ ou $\C$).
Soit $f : A \longrightarrow F$ une application.
Montrer que si l'image réciproque par $f$ de tout ouvert de $F$ est un ouvert relatif de $A$ alors $f$ est continue.
Je ne comprends pas le corrigé à partir de la boule $B(f(a), \varepsilon)$. Je ne comprends pas non plus pourquoi $a \in U$.
Soient $E$ et $F$ deux $\K$ espaces vectoriels normés et $A$ une partie de $E$. ($\K$ désigne $\R$ ou $\C$).
Soit $f : A \longrightarrow F$ une application.
Montrer que si l'image réciproque par $f$ de tout ouvert de $F$ est un ouvert relatif de $A$ alors $f$ est continue.
Je ne comprends pas le corrigé à partir de la boule $B(f(a), \varepsilon)$. Je ne comprends pas non plus pourquoi $a \in U$.
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Réponses
NB : Encore un énoncé très incomplet. On ne sait pas qui sont A et F (sans doute donné dans ce qui précède !!) ni pourquoi on parlerait de "continue" pour une simple application. Au bout de tout ce temps à se faire expliquer, comment peut-on être encore aussi niais sur les énoncés ?????
Je tente quelque chose $B (f(a), \varepsilon)= \{ y \in F \ | \ ||y-f(a) || < \varepsilon \}$
On a aussi $f^{-1} \left( B (f(a), \varepsilon \right) = \{ z \in A \ | \ f(z) \in B( f(a), \varepsilon ) \} =\{ z \in A \ | \ ||f(z)-f(a) || < \varepsilon \}$
Mais malgré cela, je n'arrive toujours pas à comprendre le raisonnement du passage encadré :-S
Alors $x\in U$ (ici, on corrige la coquille de la preuve en considérant que $B(a,\eta)$ désigne en fait une boule fermée de centre $a$ incluse dans $U$.
Donc $x\in U\cap A$ donc $x$ appartient à l'image réciproque de $B(f(a),\varepsilon)$ par $f$ puis $\|f(x)-f(a)\|\leq \varepsilon$.
Tu sais ce que signifie $B(a,\eta)\subset U$ au fait ?
Tu devrais peut-être revoir ton cours sur les inclusions d'ensembles.
Décidément tu fais des progrès... (dans le non-vu).
Oui $B(a,\eta) \subset U$ signifie que $ x \in B(a,\eta) \implies x \in U $
Rakam je viens de comprendre pourquoi $a \in U$. En effet, on a $|| f(a)- f(a)|| =||0||=0 < \varepsilon$
Le passage qui me bloque c'est $B(a, \eta) \subset U \implies ||f(x)-f(a) || < \varepsilon$ :-S
À l'époque j'avais acheté cet excellent bouquin https://www.amazon.fr/Topologie-analyse-fonctionnelle-exercices-problèmes/dp/2729857141 qui m'avait bien servi (bon, il était nettement moins cher si je me souviens bien).
@Oshine : je t'ai déjà expliqué plus haut le passage qui te bloque.
JLapin merci finalement j'ai compris grâce à ton explication.
ta preuve que $a$ est dans $U$ est ridiculement compliquée. C'est une évidence si tu sais ce que c'est que l'image réciproque (cours de base en L1, souvent vu déjà au lycée). Tu as vu cette notion au lycée, en seconde (c'était au programme à ton époque), tu l'as revue en prépa, on en a parlé ensemble sur un autre forum il y a trois ans et tu disais que tu avais tout compris. C'était faux, la preuve, tu monte une usine à gaz pour prouver que $a$ est dans l'image réciproque d'un ensemble qui contient $f(a)$. Tu es ridicule à apprendre par cœur des corrigés de sujets d'agreg en oubliant systématiquement les bases des maths. Tu as peu de mémoire ? Apprends les règles de base et habitue-toi à n'utiliser que ça et un peu d'intelligence.
Je suis le programme de prépa MPSI/MP car ce sont les bases à connaître.
Pour toi, ce devrait être le programme du lycée et le raisonnement élémentaire.
Ici ce qui m'a perturbé c'est l'image réciproque d'une boule. Je n'ai pas souvent vu ça si ce n'est jamais.
La topologie générale serait trop compliquée pour moi. J'ai vu sur internet, topologie quotient, topologie induite, topologie quotient, c'est bien plus compliqué que le cas des espaces vectoriels normés du cours de prépa.
On pourrait faire la même preuve dans le cas des evn mais la topologie générale oriente la réflexion vers la propriété la plus générale des ouverts, qui est ensembliste et ne demande pas vraiment de faire des dessins ou raisonnements à base de epsilons pour voir ce qu'il se passe.
> je maitrise l'image réciproque d'applications classiques ou de fonctions usuelles.
On parle d'image réciproque d'une partie de l'ensemble d'arrivée, pas d'image réciproque d'une application...
@RLC d'accord (tu)
Tu as su faire des exercices particuliers (après de nombreuses explications), mais tu n'as pas compris ! Tu ne sais toujours pas ce qu'est une image réciproque, tu n'as jamais voulu savoir. Tant pis pour toi !! Peut-être même que tu n'as même pas vu qu'une boule est un ensemble ... tu travailles avec des peaux de sos devant les yeux ...
Je vais retravailler sur les images réciproques.
Selon Patrick Dehornoy, les nombres entiers que OShine manipule quand il fait des maths (lorsqu'il ne lit pas les corrigés il en fait) sont des représentations par les ensembles des "vrais" nombres B-)-