Image réciproque
Bonjour,
Soient $E$ et $F$ deux $\K$ espaces vectoriels normés et $A$ une partie de $E$. ($\K$ désigne $\R$ ou $\C$).
Soit $f : A \longrightarrow F$ une application.
Montrer que si l'image réciproque par $f$ de tout ouvert de $F$ est un ouvert relatif de $A$ alors $f$ est continue.
Je ne comprends pas le corrigé à partir de la boule $B(f(a), \varepsilon)$. Je ne comprends pas non plus pourquoi $a \in U$.
Soient $E$ et $F$ deux $\K$ espaces vectoriels normés et $A$ une partie de $E$. ($\K$ désigne $\R$ ou $\C$).
Soit $f : A \longrightarrow F$ une application.
Montrer que si l'image réciproque par $f$ de tout ouvert de $F$ est un ouvert relatif de $A$ alors $f$ est continue.
Je ne comprends pas le corrigé à partir de la boule $B(f(a), \varepsilon)$. Je ne comprends pas non plus pourquoi $a \in U$.
Réponses
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Cherche seul ! Apprends à comprendre seul. ici c'est facile.
NB : Encore un énoncé très incomplet. On ne sait pas qui sont A et F (sans doute donné dans ce qui précède !!) ni pourquoi on parlerait de "continue" pour une simple application. Au bout de tout ce temps à se faire expliquer, comment peut-on être encore aussi niais sur les énoncés ????? -
J'ai rajouté les informations nécessaires.
Je tente quelque chose $B (f(a), \varepsilon)= \{ y \in F \ | \ ||y-f(a) || < \varepsilon \}$
On a aussi $f^{-1} \left( B (f(a), \varepsilon \right) = \{ z \in A \ | \ f(z) \in B( f(a), \varepsilon ) \} =\{ z \in A \ | \ ||f(z)-f(a) || < \varepsilon \}$
Mais malgré cela, je n'arrive toujours pas à comprendre le raisonnement du passage encadré :-S -
Pourquoi espaces vectoriels ? C'est quoi une boule dans un ev ?
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Ce sont des espaces vectoriels normés. J'avais oublié le "normé".
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Soit $x$ dans $A$ tel que $\| x-a\|\leq \eta$.
Alors $x\in U$ (ici, on corrige la coquille de la preuve en considérant que $B(a,\eta)$ désigne en fait une boule fermée de centre $a$ incluse dans $U$.
Donc $x\in U\cap A$ donc $x$ appartient à l'image réciproque de $B(f(a),\varepsilon)$ par $f$ puis $\|f(x)-f(a)\|\leq \varepsilon$. -
JLapin je n'ai pas compris ta preuve est encore plus concise que celle du corrigé que je n'arrive déjà pas à comprendre.
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Il faut la lire avec celle du corrigé en parallèle...
Tu sais ce que signifie $B(a,\eta)\subset U$ au fait ?
Tu devrais peut-être revoir ton cours sur les inclusions d'ensembles. -
Ne pas voir que $a$ est dans l'image réciproque de $B(f(a),\varepsilon)$ donc dans $A\cap U$ donc dans $U$ !
Décidément tu fais des progrès... (dans le non-vu). -
Dans la définition de la continuité, on peut transformer le signe inférieur ou égale en strictement inférieur, ce qui permet de raisonner avec des boules ouvertes...
Oui $B(a,\eta) \subset U$ signifie que $ x \in B(a,\eta) \implies x \in U $
Rakam je viens de comprendre pourquoi $a \in U$. En effet, on a $|| f(a)- f(a)|| =||0||=0 < \varepsilon$
Le passage qui me bloque c'est $B(a, \eta) \subset U \implies ||f(x)-f(a) || < \varepsilon$ :-S -
OShine ton bouquin est bizarre, il présente des résultats sur les espaces métriques dans le contexte particulier des espaces normés... normalement on étudie d'abord les espaces métriques puis ensuite les espaces normés de façon à posséder déjà les résultats généraux des espaces métriques...
À l'époque j'avais acheté cet excellent bouquin https://www.amazon.fr/Topologie-analyse-fonctionnelle-exercices-problèmes/dp/2729857141 qui m'avait bien servi (bon, il était nettement moins cher si je me souviens bien). -
Raoul.S le livre a l'air bien mais il dépasse le cadre des programmes actuels. Les espaces métriques sont hors programme des classes prépas.
JLapin merci finalement j'ai compris grâce à ton explication. -
Ton argument ne tient pas : tu ne prépares pas de concours aux grandes écoles...
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Ah oui, le programme...
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O Shine,
ta preuve que $a$ est dans $U$ est ridiculement compliquée. C'est une évidence si tu sais ce que c'est que l'image réciproque (cours de base en L1, souvent vu déjà au lycée). Tu as vu cette notion au lycée, en seconde (c'était au programme à ton époque), tu l'as revue en prépa, on en a parlé ensemble sur un autre forum il y a trois ans et tu disais que tu avais tout compris. C'était faux, la preuve, tu monte une usine à gaz pour prouver que $a$ est dans l'image réciproque d'un ensemble qui contient $f(a)$. Tu es ridicule à apprendre par cœur des corrigés de sujets d'agreg en oubliant systématiquement les bases des maths. Tu as peu de mémoire ? Apprends les règles de base et habitue-toi à n'utiliser que ça et un peu d'intelligence. -
JLapin oui mais je me dis que les espaces vectoriels normés c'est plus simple que les espaces métriques en général non ?
Je suis le programme de prépa MPSI/MP car ce sont les bases à connaître. -
Les bases à connaitre pour quoi ?
Pour toi, ce devrait être le programme du lycée et le raisonnement élémentaire. -
Gerard0 je maitrise l'image réciproque d'applications classiques ou de fonctions usuelles.
Ici ce qui m'a perturbé c'est l'image réciproque d'une boule. Je n'ai pas souvent vu ça si ce n'est jamais.
La topologie générale serait trop compliquée pour moi. J'ai vu sur internet, topologie quotient, topologie induite, topologie quotient, c'est bien plus compliqué que le cas des espaces vectoriels normés du cours de prépa. -
La topologie générale en première approche est plus simple que celle des evn, surtout pour les théorèmes de base type continuité ssi image réciproque d'ouvert ouverte.
On pourrait faire la même preuve dans le cas des evn mais la topologie générale oriente la réflexion vers la propriété la plus générale des ouverts, qui est ensembliste et ne demande pas vraiment de faire des dessins ou raisonnements à base de epsilons pour voir ce qu'il se passe. -
OShine écrivait:
> je maitrise l'image réciproque d'applications classiques ou de fonctions usuelles.
On parle d'image réciproque d'une partie de l'ensemble d'arrivée, pas d'image réciproque d'une application... -
Non, tu ne maîtrises pas la notion, puisque le fait qu'il y ait une boule te perturbe ! Alors qu'on s'en fout !!
Tu as su faire des exercices particuliers (après de nombreuses explications), mais tu n'as pas compris ! Tu ne sais toujours pas ce qu'est une image réciproque, tu n'as jamais voulu savoir. Tant pis pour toi !! Peut-être même que tu n'as même pas vu qu'une boule est un ensemble ... tu travailles avec des peaux de sos devant les yeux ... -
Une boule est un ensemble c'est clair car $B(a,r)= \{ x \in E \ | \ ||x-a|| \leq r \}$
Je vais retravailler sur les images réciproques. -
Exo bonus : essaie de trouver un objet mathématique qui ne soit pas un ensemble.
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Un nombre n'est pas un ensemble.
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Perdu.
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C'est mesquin
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Je sais :-D
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Et pourtant, feu Patrick Dehornoy aurait donné raison à OShine...
B-)- -
D'un point de vue logique, c'est normal et nécessaire de représenter les choses par des ensembles quand on fait des maths dans la théorie des ensembles. Donc les nombres que OShine manipule quand il fait des maths, ce sont des ensembles.
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Homo Topi a écrit:Donc les nombres que OShine manipule quand il fait des maths, ce sont des ensembles.
Selon Patrick Dehornoy, les nombres entiers que OShine manipule quand il fait des maths (lorsqu'il ne lit pas les corrigés il en fait) sont des représentations par les ensembles des "vrais" nombres B-)- -
Je sais, ça ne change pas la nature des objets qu'il manipule.
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